Seminaire BOURBAKI Avril 63eme annee no

Alexandru Oancea

Description

Seminaire BOURBAKI Avril 2011 63eme annee, 2010-2011, no 1036 INVARIANTS DE WELSCHINGER par Alexandru OANCEA Le but de cet expose est de presenter des invariants decouverts par Welschinger qui sont adaptes a des problemes de geometrie enumerative reelle. Ces problemes enumeratifs sont classiquement formules dans le cadre de la geometrie algebrique reelle mais ils trouvent leur solution la plus naturelle dans le cadre de la geometrie symplec- tique reelle. Ceci permet en particulier de les etudier via des techniques specifiques puissantes comme la theorie symplectique des champs. Les invariants de Welschinger sont des analogues reels de certains invariants de Gromov-Witten. 1. INTRODUCTION Une variete symplectique reelle (X,?, cX) est une variete differentiable munie d'une 2-forme fermee non-degeneree ? – la forme symplectique – et d'une involution anti- symplectique cX : X ? X, verifiant c?X? = -? – la structure reelle. La dimension de X est necessairement paire, notee 2n. S'il est non-vide, le lieu reel RX = Fix(cX) ? X est une sous-variete lisse lagrangienne, i.e. dim RX = n et ?|RX = 0. Ceci decoule de l'enonce analogue pour les structures reelles lineaires sur R2n et du theoreme des fonctions implicites. Citons les exemples fondamentaux suivants : les espaces des phases (T ?L, dp?dq) de la mecanique classique, associes a des espaces de configurations L qui sont des varietes lisses, avec la structure reelle canonique cL : (p,q) 7? (?p,q) ; l'

• choix generique des points


• integrale sur l'espace de modules de courbes avec points


• espace de modules


• variete symplectique


• fibres singulieres de la fibration z ?


• fibres singulieres


• welschinger


• courbes cuspidales


• variete de dimension

Sujets

• Oancea
• Espace de modules
• Variété symplectique

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 avril 2011
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• Langue: Français

Extrait

S´eminaireBOURBAKI 63e`meanne´e,2010-2011,n o 1036

INVARIANTS DE WELSCHINGER parAlexandru OANCEA

Avril 2011

Lebutdecetexpose´estdepre´senterdesinvariantsd´ecouvertsparWelschinger quisontadapt´esa`desprobl`emesdeg´eom´etriee´num´erativere´elle.Cesprobl`emes e´num´eratifssontclassiquementformule´sdanslecadredelag´eome´triealg´ebriquer´eelle maisilstrouventleursolutionlaplusnaturelledanslecadredelage´ome´triesymplec- tiqu´elle.Cecipermetenparticulierdeles´etudierviadestechniquesspe´cifiques e re puissantescommelathe´oriesymplectiquedeschamps.LesinvariantsdeWelschinger sontdesanaloguesre´elsdecertainsinvariantsdeGromov-Witten.

1. INTRODUCTION

Uneirav´te´myseleelree´ituqlpce(X ω c X tnere´ffide´te´ireund’ieunemblianevaestu) 2-formeferme´enon-d´eg´en´er´eeω– la forme symplectique – et d’une involution anti- symplectiquec X :X→Xntrifiae´v,c ∗ X ω= -ω– latcrutsurleelree´. La dimension deX estn´ecessairementpaire,not´ee2n. S’il est non-vide, lelee´rueilRX= Fix(c X )⊂X estunesous-varie´t´elisselagrangienne,i.e.dimRX=netω| RX ulcoeec.C´eid0= del’´enonce´analoguepourlesstructuresr´eelleslin´eairessurR 2n sdeor´eme`eteudht fonctions implicites. Citons les exemples fondamentaux suivants : les espaces des phases (T ∗ L dp∧dqd)lemae´acinuqeclassique,assocse´ieda`psessecacodegunfitirasonLqui sontdesvarie´t´eslisses,aveclastructurere´ellecanoniquec L : (pq)7→(−pq) ; l’espace projectifP n elleer´retuuctrumeydtlesani-itSdurmedeFubnidelafoconjdonnee ´ parlaconjugaisoncomplexe;lesvarie´t´esprojectiveslissesd´efiniespardespolynoˆmes homoge`nes`acoefficientsre´els,aveclastructureinduiteparcelledeP n ed`elnuomO.an local pour (X ω c X ) au voisinage deL=RX: un voisinage deLrpmosotiesnua`eh voisinage de la section nulle dans (T ∗ L dp∧dq c L ) [45]. DepuisGromov[15]noussavonsqu’ilestutilederegarderlesvari´ete´ssymplectiques commedesanalogues“flexibles”desvari´et´esk¨ahleriennes.Defaconpluspre´cise,soit ¸ J ω l’espace des structures presque-complexesJ(de classeC ℓ ,ℓ≫1) surT Xqui sont ω-compatibles, i.e. telles queω( Jmenainnertqieuirstunem´e)edee´seL.enstneme´lJ ω sont les sectionsC ℓ sconfibretiletracdu’e´a`finrb(2si,sromosehppSa`n)U(n), de sorte queJ ω ´cettn´oerdtceBaiatnealcEh.sp´neparablseenuotne-nvaivdiereesr´ceenund’e

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structurere´ellec X on obtient une involutionc X ∗ :J ω → J ω  J7→ −dc X ◦J◦dc X dont le lieu des points fixesRJ ω est l’espace des structures presque-complexesω-compatibles qui rendentc X .Welrphengerschirte´manoe’psuqleeactnaomoloh-iRJ ω esneturiva´te´e deBanachse´parableetcontractile[47,§1.1]. Un choix deJ∈ J ω secedseapemrepl’ererd´sionectdcourbes (rationnelles)J- holomorphesu:P 1 →(X Jitnole´’qeautilusdonso),du+J◦du◦j`u=0ojest la structure complexe deP 1 ueptiqseutene´.’C,nnaille-yhcmeiRypetaueCatqundio d’indice 2c 1 (X)d+ 2no,u`d=u ∗ [P 1 ]∈H 2 (X;Z) etc 1 (Xre`imerpaltse)cealssdee Cherndufibr´ecomplexe(T X J). LorsqueJ∈RJ ω , il existe une involution naturelle u7→c X ◦u◦conjsur l’espace des courbesJ-holomorphes, et ses points fixes s’appellent courbesJphesr´ee-holomorllseeseselitsulaarepsnoitulosedsecaplomodunois`dreO.cn reparam´etrisationconformea`lasource,etonparlealorsd’espaces de modules. Lavari´et´esymplectique(X ω) est ditesemi-positive(resp.fortement semi-positive) si,pourtouteclassesph´eriqued∈H 2 (X;Z) telle que [ω]d >0, on a l’implication . c 1 (X)d≥3−n⇒c 1 (X)d≥0 (resp.c 1 (X)d≥2−n⇒c 1 (X)d≥0) Les in- variantsdeGromov-Witten(engenre0)d’unevarie´t´esemi-positivesontd´efinisdela fa¸consuivante[35]:onserestreintauxcourbesditessimplesqui ne factorisent pas a`traversunreveˆtementramifi´enon-trivialdeP 1 , on enrichit la sourceP 1 de points marqu´esmobiles,onimposedesconditionsd’incidenceauxpointsmarque´sdefac¸on `aramenerladimensiondesespacesdemodules`a´o,etfinalementoncompteles zer solutions.Notonslesdeuxsp´ecificit´essuivantes:(i)ler´esultatpeutˆetreinterpre´t´ede ¸ gra r l’espac facondualecommelecalculd’uneint´elesuedemodulesdecourbesavec pointsmarqu´es.Cedernierporteuneclasse fondamentaleuipu’sqnuedeoplie`sscom- pactification par des strates de codimension≥2. Par ailleurs, les conditions d’incidence nedoiventpasn´ecessairementˆetreponctuelles,cequiadescons´equenceprofondes comme par exemple l’existence du produit quantique surH ∗ (X;Z (ii) ;) [31, 38, 35] lorsquelesconditionsd’incidencesontrepr´esent´eespardessous-varie´t´esJ-complexes, les courbes sontscevmaotpe´ˆmmeceelneesig.Cstuneciesefinameednoitattisipolaet´vi des intersections des objets holomorphes. Le cas particulier des conditions d’incidence ponctuelles est crucial pour la suite. Soit d∈H 2 (X;Z) etM k d (X J) ∗ l’espace des modules de courbesJ-holomorphes simples avecklantteenseascluq,se´uqse´rperitnioramspd. On suppose que(n−1)divise(c 1 (X)d−2)et on posek=k d = n−1 1 (c 1 (X)d−2) + 1. Soitx∈X k unkre´ne´gxiohcnuruPos.ctinstdiuxdedeiquedepointsdeux-`a-u-lpte J∈ J ω l’espaceM k d (X J) ∗ oisn2nde´emediareveti´tsnuec 1 (X)d+ 2n−6 + 2ketx estunevaleurre´gulie`redel’applicationd’´evaluation ev J :M d k (X J) ∗ →X k (u z 1      z k )7→(u(z 1 )     u(z k )) La valeur dekosaleuqelleteisiveetdbuleetceurecho´et´a J soientdemˆemedi- mension. Notons que ev J admet une extension naturelle ev J :M k d (X J) ∗ →X k `a la compactification de Gromov-Kontsevich par des courbes stables [31, 35]. On note