Sur l'uniformisation locale et globale des structures geometriques holomorphes rigides

Description

Sur l'uniformisation locale et globale des structures geometriques holomorphes rigides Sorin DUMITRESCU 30 juin 2011 Resume. Nous presentons des resultats de classification pour des varietes com- plexes compactes possedant des structures geometriques holomorphes rigides. Ce travail a beneficie d'une aide de l'Agence Nationale de la Recherche portant la reference ANR-08-JCJC-0130-01. Table des matieres 1 Introduction 2 1.1 Geometries de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Structures geometriques holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Resultats classiques d'uniformisation 6 2.1 Le theoreme de coordonnee isothermes de Gauß . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Theoreme d'uniformisation des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Un theoreme d'uniformisation du a Wang . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Structures geometriques holomorphes 13 3.1 Le groupe Dr(Cn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Fibres des r-reperes et autres fibres .

• connexion projective


• variete kahlerienne compacte


• holomorphe


• espace homogene


• isometries locales


• holomorphes


• groupe dr


• point dans l'image de ? dans z

Sujets

• Agence nationale de la recherche
• Fonction holomorphe
• Espace homogène

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 juin 2011
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• Langue: Français

Extrait

Sur l’uniformisation locale et globale des structuresge´ome´triquesholomorphesrigides

Sorin DUMITRESCU

30 juin 2011

Resume.luatsteddsse´rseationpouclassific´te´ocsesedriravm-rpsuoNnotnese´ ´ ´ plexescompactesposs`edantdesstructuresg´eom´etriquesholomorphesrigides. Cetravailab´en´efici´ed’uneaidedel’AgenceNationaledelaRechercheportant lare´f´erenceANR-08-JCJC-0130-01.

Tabledesmatie`res

1 Introduction 2 1.1Ge´ome´triesdeKlein...........................2 1.2Structuresg´eome´triquesholomorphes.................3

2Re´sultatsclassiquesd’uniformisation6 2.1Leth´eor`emedecood´eeisothermesdeGauß............6 r onn 2.2Th´eore`med’uniformisationdessurfaces.................10 2.3Unth´eor`emed’uniformisationduˆa`Wang................12

3Structuresge´ome´triquesholomorphes13 3.1 Le groupeD r (C n . . . . . . . . . . . . 13) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Fibre´sdesrse..bfi´r........eresrep`tresetau-........4.1 3.3De´finitionetexemplesdesstructuresgeometriques...........15 ´ ´ 3.4Isome´trieslocales.Rigidite´........................21

4Re´sultatsdeclassification29 4.1Surlesvarie´te´sparall´elisables......................29 4.2Surlesvarie´t´esK¨ahle´riennes.......................33 1

5Quelquesd´eveloppements38 5.1Me´triquesRiemanniennesHolomorphes.................38 5.2 Connexions affines et projectives holomorphes . . . . . . . . . . . . . 43

1 Introduction

1.1G´eome´triesdeKlein U´erietm´,spactuneog`eneehomsneduaes,nselKieG/Iu,o`Gest un groupe negeo de Lie (de dimension finie) etIunede´mrefepuorg-suosG. Le groupeGest alors legroupedessym´etries(isome´tries)delage´om´etrieetjouelerˆolecentralsuivant: deux parties de l’espaceG/Iseeni’ltegamedctnois´dree´see´quivalentessil’uoners l’autre par une transformation appartenant au groupeG. L’exemple type est celui dee´rte´molgannieeeuieidclorgudepuicosaee´as,es d´eplacementsG=O(n,R)nR n te`oluepteinpounougrlestilibatse’druetas d’isotropieI=O(n,R). Comme le sous-groupe des translationsR n agit librement et transitivement surG/Iteireecuilidn,euennmod`eledelag´eom´raseoralsR n muni delaformequadratiqued´efiniepositivestandarddx 1 2 +dx 2 2 +. . .+dx 2 n . Autresexemplesremarquablesdege´ome´tries(pr´t´eessousleursversionscom-esen plexes) sont : –eholiennmannerieteiroe´mal´getalpehpromo, obtenue pourG=O(n,C)n C n etI=O(n,CUn).`domdeletece´geteom´etrieestC n muni de la forme quadratiquecomplexenonde´ge´ne´re´edz 12 +. . .+dz 2 n .Il s’agit de la version holomorphedelage´om´etrieeuclidienne. –la geometrie affine complexeobtenue pourG=GL(n,C)nC n etI=GL(n,C). ´ ´ L’action deGsurC n n-coeu`socruseesvaticompitessparlexesdroveleeserpr´ stante. –irte´moetcejorpeg´laivecomplexe,o`uGest le groupe de transformations projec- tives de l’espace projectif complexeP n (C) etIest le stabilisateur d’un point. Dans ce casGe.agamartr´eetcepelrsnaspserectives,itesprojeveldsorp´rsere GaußetRiemannsontlespremiersa`avoirintroduitet´etudie´l’objetinfinit´esimal associ´e`alag´eom´etrieeuclidienne:enlanguagemoderne,einnameireuqirteueenn´nm surunevarie´te´estunchamplissedeformesquadratiquesde´finiespositivessur l’espace tangent. Post´erieurement,dansunvasteprogrammedeg´ene´ralisation,Cartanare´ussia` de´finirlesobjetsinfinite´simauxassoci´es´´etriesdeKleinG/Iet qui sont, aux geom a`cesg´eom´etries,cequelesm´etriquesriemanniennessont`alage´ome´trieeuclidi- enne [76]. Par exemple,une connexion affine holomorpheisntone-l´ieernatgi´slaa finite´simaledelage´om´etrieaffinecomplexeetune connexion projective holomorphe estlage´n´eralisationinfinit´esimaledelage´´triprojectivecomplexe. ome e

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Cartanassociea`cesobjetsuntenseurdecourburequis’annulesietseulement sil’objetinfinite´simalestplatoltidtnetnemelacalivqu´eat`entrem,auG/I. CartanetLieontlonguement´etudie´lessyme´tries(isom´etries)decesobjets infinit´ imaux. es Ehresmannestceluiquiapose´lecadremoderneintrinse`quedanslequelces structuresg´eom´etriquesfinit´esimalessedniercuutitfin´eadtresndioessinfie´L.]52[tn g´eome´trique,d´egag´eeparEhresmann(suiteauxtravauxpr´ecurseursdeCartan)et reprisefructueusementparGromovdans[35],estpre´sent´eedanslasuiteetsera amplementrevisite´eauchapitre3.

1.2Structuresge´om´etriquesholomorphes Commen¸conspardonnerlad´efinitiond’unestructurege´ome´triqued’apr`es[3,35], danslecontexteholomorphequiseradiscut´edanscetexte. Consideronsunevari´et´ecomplexeMde dimensionn. Rappelons que, pour tout ´ entier positifr, le groupeD r , desr-jets en 0 de germes de biholomorphismes locaux deC n unstougrlipeean´iuqnexfie,0tico¨ıncideavecriaegle´rbqieuuqGL(n,C), pourr= 1, et avec une extension deGL(n,C) par le groupe additif des formes biline´airessym´etriquessurC n , sir= 2. Lefibr´edesrrese-er`pR r (M) deMeremtnida,tudestlefibr´er-jets en 0 de germes debiholomorphismeslocaux,centre´sen0,entreC n etMalapicnirpe´rbfinestu,u- dessus deM, de groupe structuralD r . Nous suivons [3, 35] et donnons la

D´efinition1.1nUrtsereg´uctuetrieom´lomouqheerohpφ(d’ordrer) surMest une application holomorphe,D r ,rivatean´-iuqeφ:R r (M)→Z, avecZnuvera´iet´e alge´briquemunied’uneactionalg´ebriquedeD r . SiZorse,aleaffine´´tavirutense lastructureg´eom´etriqueφ.ealg´ebriqueaffinedtsedetipyte

L’applicationφeredufiorphdefibbr´etcesenuemolohnoiprernt’immcote`esZ, associe´aufibr´eprincipalR r (M) via l’action deD r surZ. Exemple :Sir= 1 etZest un espace vectoriel de dimension finie muni d’une action li ´aire deGL(n,C), alorsφest untenseur holomorphe. Il s’agit d’une struc-ne tureg´eome´triquedetypealg´ebriqueaffine.Ondira,avecBogomolov[12,13],queφ estyted´gepel´aner, s’il existe un point dans l’image deφdansZdont le stabilisateur est un sous-groupe fini deGL(n,C). Un biholomorphisme localfdeMe´rbfiudsleurtsenontiecssturellemagitna pre´ce´dent.Sicetteactionpre´serveφ, alorsfest uneoleielacomistr´edeφ. Si les isom´etrieslocalesagissenttransitivementsurMmoeirteeuqorslastructureg´,laφ ´ est ditelalocenemomthen.goe` Si l’image deφdansZest exactement uneD r ’iisque,eaifintdetibro-lors`aun espacehomog`eneD r /G,`ouGest le sous-groupe deD r qui stabilise un point de

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l’image, alorsφfibde´ebrnfi’undioersi’tnrerp`etecommeunesectD r /G. Cette sectionfournituner´eductiondugroupestructuraldeR r (M) au sous-groupeG. Unetellestructureg´eom´etriqueestditeuneG-structure holomorphe[48]. Lastructurege´ome´triqueφest diterigideau sens de Gromov [3, 35], si une, isome´trielocaleestd´etermin´eeparunjetd’ordrefini.Lepseudo-groupedesisom´etries localesd’unestructureg´eome´triquerigideestunpseudo-groupedeLiededimension finie,engendre´parunealg`ebredeLiededimensionfinieappel´eesedbredeLiealg`e champs de Killing locaux. Pre´sentonsmaintenantdesexemplesimportantsdestructuresge´ome´triquesholo- morphes rigides qui sont desG-structures. – Sir= 1 etG={Id}ced’esenriviunettaoilasimuorohhpndleono,´rpnetse fibre´tangentholomorphe.Unetellestructureestaussiappel´eearpemla´llesi holomorpheanscecaset,de´teval,´iraMest dite´ellsalirapable. – Sir= 1 etG=O(n,Co,en)rpe´tsne’uedncseneameireuqenneinnrietm´ holomorphe´’qeiuaveltnd,naquiestl,exenu’de´meqirtecslteonecxtplom ue riemannienne.Ils’agitdelaversioninfinite´simaledelag´eom´etrieriemannienne holomorphe plate. – Sir= 1 etG=C ∗ nO(n,Csldetulireai´ein-mocs)seedessimitlegroup plexes,onestenpr´esenced’unestructure conforme holomorphe. Il s’agit d’une structureg´eom´etriquerigide,de`squensusterp´urie´eou`lagorta.sie – Soitr=2etconsid´eronlsseuo-srguoepGdeD 2 omis,ae`phorD 1 itsnoc,e´ut parles2-jetsen0d’isomorphismeslin´eairesdeC n . CetteG-structure est une connexion affine holomorphe sans torsion. – Soitr= 2 etGle sous-groupe deD 2 o,rc-el2sperati´unotsansfdetrsen0-jet mations projectives deP n (C) qui fixent 0. Il s’agit d’uneconnexion projective holomorphe normale.

Remarque 1cseltesenoixennorapaesLsmli´ell´eom´e-ucturesgtnedssrtasnffiseos triquesdetypealge´briqueaffine,maispaslesstructuresconformes,nilesconnexions projectives.

Lad´efinitionpre´c´edentedesconnexionsaffinesetprojectives,vuescommeG- structuresestclassique[49].Lelecteurpourraegalementser´efe´rer`a[67],pourvoir ´ quelade´finitionpre´c´edentecoı¨ncideaveccelleissuedelath´eoriedesfaisceauxet adopte´edans[38,51,52]. Desnombreuxr´esultatsmontrentquelesGse´leurssheeti´arsvruseurtcomprohol-st compactesonttendanceaˆetrelocalementhomoge`nes(etmeˆmeplatesdanslecas desvari´ete´ska¨hle´riennes)[41],[43],[61],[82],[21],[19],[22]. Leplusinstructifdanscesensnoussembleler´esultatsuivantduˆ`aWang[82] (voir la preuve un peu plus tard).

Theoreme 1.2(Wang) SoitMexnncoteacmpcoxe-temdaeune´ocpmelvera´ite ´ ` tantunparalle´lismeholomorphe.AlorsMest un quotient d’un groupe de Lie com-

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plexe connexe simplement connexeGtcpraeseaunr´ompaucocΓ. De plus,Mest k¨ahl´eriennesietseulementsiGseatb´elien(etMest un tore complexe).

Rappelonsaussilesthe´ore`messuivantsquiserontprouv´esetg´en´eralise´s`ala section 4 :

Th´eor`eme1.3(Inoue, Kobayashi, Ochiai) SoitM-mocenn´ek¨i´eterieahl´veranu pacte et connexe, munie d’une connexion affine holomorpher. AlorsMadmet un reveˆtementfininonramifi´equiestuntorecomplexeetsurlequell’imager´eciproque derest invariante par translations.

The´ore`me1.4(Bogomolov, Yau) SoitMonec-mocetcapre´lnneira´inuve¨khatee´ nexedontlapremie`reclassedeChernestnulle,munied’untenseurholomorphede ty´ene´ralφ. AlorsMtfininonramifi´equeitsnuoteroc-memenvˆetunredmeta pe g plexeetsurlequell’imagere´ciproquedeφest un tenseur invariant par translations.

Cetextepre´senteunsurvoldesth´eoremesdeclassificationpourlesvarie´t´escom-` plexescompactesMsetsnadtemttdam´etg´eouresructehpromolohseuqirsrigidesφ (quiunifientetg´en´eralisentlesre´sultat´´dent). s prece s Parexemple,danslecontextedesvarie´te´ska¨hle´riennesnousd´emontrons:

Th´eor`eme1.5SoitM`itlapdenonnxeetocpmcaconeenri´ehl¨aek´te´iravenu rem ere classedeChernestnulle,munied’unestructurege´ome´triqueholomorphedetype affineφ. Alorsφest localement homogene. ` Si, de plus,φest rigide, alorsMomecexpleadmetunrevˆetemetnnfiqiiuseuttnro etsurlequell’imagere´ciproquedeφest invariante par translations.

Danslecaso`uMtacieL.esulple´ds´lreeinn´see¨khaationeste,lasitupoupsspast’en r´esultatsdeclassificationobtenusdanscecadresontmoinsg´en´eraux:ilsconcernent lesme´triquesriemanniennesholomorphesendimensiontroisetlesconnexionsaffines etprojectivesholomorphessurlessurfacescomplexescompactes.Cesre´sultatsseront ´nt´esadernierchapitre. prese u Lastrat´egieg´ene´ralepourobtenircetypeder´esultatestlasuivante.Onde´montre quelastructureg´eom´etriqueestlocalementhomoge`ne,localementisomorphea`une ˜ structurege´om´etriqueG-invarianteφleeuruspsenehacogomne`ed`moG/I(iciG seralegroupedeLieconnexeetsimplementconnexeassoci´e`al’alge`bredeLiedes champs de Killing locaux deφ). Noussommesalorsdanslasituationd´ecriteparlade´finitionsuivante.

D´efinition1.6vara´iet´eLMrteimoe´eel´demo´eagrlsuoltsetnemelacG/I, au sens d’Ehresmann-Thurston [24, 79], ou encore admet une(G, G/I)e,s’ilex--´goe´mteir iste un atlas deMeursaval`stedvureedosadsnG/Itel que les applications de changementsdecartesoientdonne´espardes´el´ementsdugroupeG.

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