VALEURS PROPRES PLONGEES DU LAPLACIEN SUR UNE VARIETE AVEC CUSPS

Abderemane

Description

Niveau: Secondaire
VALEURS PROPRES PLONGEES DU LAPLACIEN SUR UNE VARIETE AVEC CUSPS ET LAPLACIEN AVEC CHAMP MAGNETIQUE Franc¸oise Truc Institut Fourier, Grenoble 17/11/11 – p. 1

• laplacien avec champ magnetique


• moment magnétique


• ex˙ ?


• champ magnétique


• champs magnétiques en mécanique classique


• plongees du laplacien

Sujets

• Moment magnétique
• Champ magnétique

Informations

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Extrait

VALEURS PROPRES PLONGEES DU LAPLACIEN SUR UNE VARIETE AVEC CUSPS ET LAPLACIEN AVEC CHAMP MAGNETIQUE

Fran¸coiseTruc

Institut Fourier, Grenoble

17/11/11 – p. 1

Champs magnétiques en mécanique classique

La trajectoire dansR 3 d'une particule de massem, de chargee, soumise à un champ magnétique −→ Best décrite − par l'équation de Lorentz :mx¨ =ex˙ → ∧B 

Lagrangien associé (m=e= 1) :

L(x x˙ )

=

2 1 x˙ 2 +x˙A(x)

17/11/11 – p. 2

La trajectoire dansR 3 d'une particule de massem, −→ de chargee, soumise à un champ magnétiqueBest décrite par l'équation de Lorentz :mx¨ =ex˙ → ∧ − B  Lagrangien associé (m=e= 1) :L(x x˙ 2 1 =)x˙ 2 +x˙A(x) Moments conjugués :ξ j = x∂ ∂ ˙ L j =⇒ξ=x˙ +A(x)

2 1 (ξ−A(x)) 2 

H(x ξ) =ξx˙− L(x x˙ )

17/11/11 – p. 2

Champs magnétiques en mécanique classique

H du m et le

~ Bconstant=⇒ Trois intégrales v ⊥ Larmorρ= B

=

Hamiltonien :

ergieH, lerayon de tiqu v 2 ⊥ eI= 2B .

intégrable , ouvement : l'én moment magné

17/11/11 – p.

17/11/11 – p. 4

Sommaire

Le cadre riemannien Le demi-plan de Poincaré Le Laplacien avec champ magnétique constant Résultats reliés

17/11/11 – p. 5

Le cadre riemannien

Sommaire

Le demi-plan de Poincaré Le Laplacien avec champ magnétique constant Résultats reliés

Surfaces hyperboliques non compactes Le spectre essentiel du Laplacien avec champ magnétique constant La formule de Weyl (cas d'une surface d'aire nie )

17/11/11 – p. 5

Le cadre riemannien

Sommaire

Le demi-plan de Poincaré Le Laplacien avec champ magnétique constant Résultats reliés

Surfaces hyperboliques non compactes Le spectre essentiel du Laplacien avec champ magnétique constant La formule de Weyl (cas d'une surface d'aire nie )

Dimension > 2 : les variétés avec cusps Le spectre essentiel du Laplacien avec champ magnétique La formule de Weyl avec reste Nombre de valeurs propres plongées du Laplacien Démonstrations (les grandes lignes)

Collaboration avec Abderemane Morame, Laboratoire J. Leray, Nantes

17/11/11 – p. 5