Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre 2004 \ EXERCICE 1 5 points Le tableau suivant donne les indices des prix à la consommation pour les années 1990 à 1997. Année 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Rang de l'année xi 0 1 2 3 4 5 6 7 Indice yi 100 103,2 105,7 107,9 109,7 111,6 113,8 115,2 Source Insee 1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi ) dans un repère orthogonal (2 cm représente une année en abscisse et 1 cm représente un point d'indice en ordonnée ; faire débuter la graduation à 100 sur l'axe des ordonnées). Calculer les coordonnées du point moyen et placer ce point. 2. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement af- fine D par la méthode de moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10?1 près). Représenter la droite D dans le repère précédent. 3. On envisage l'ajustement du nuage par une branche de parabole d'équation y = ax2+bx +c, et l 'on cherche les trois nombres a, b et c. Pour cela on pose zi = √1198?10yi . Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés est alors : z =?x +14.

• personne entrant dans le maga- sin


• nuage de point


• branche de parabole d'équation


• indice des prix


• équation de la droite d'ajustement af

Sujets

• Indice des prix

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2004
• Nombre de lectures: 45
• Langue: FrançaisFrançais

Extrait

[BaccalauréatESAmériqueduSudnovembre2004\
EXERCICE 1 5points
Le tableau suivant donne les indices des prix à la consommation pour les années
1990à1997.
Année 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Rangdel’annéex 0 1 2 3 4 5 6 7i
Indice y 100 103,2 105,7 107,9 109,7 111,6 113,8 115,2i
SourceInsee
1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (x ; y ) dans uni i
repèreorthogonal(2cmreprésenteuneannéeenabscisseet1cmreprésente
unpointd’indiceenordonnée;fairedébuterlagraduationà100surl’axedes
ordonnées).
Calculerlescoordonnéesdupointmoyenetplacercepoint.
2. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement af-
fine D par la méthode de moindres carrés (les coefficients seront arrondis à
?110 près).ReprésenterladroiteD danslerepèreprécédent.
3. On envisage l’ajustement du nuage par une branche de parabole d’équation
2y?ax ?bx?c,etl’oncherchelestroisnombresa, b etc.Pourcelaonposep
z ? 1198?10y .i i
Une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la méthode des
moindrescarrésestalors:z??x?14.
2a. Vérifierque y??0,1x ?2,8x?100,2.
b. Dans le repère précédent, et sans étudier la fonction correspondante,
2tracerlabranchedeparaboled’équation y??0,1x ?2,8x?100,2 pour
x appartenantàl’intervalle[0;7].
c. En choisissant ce dernier ajustement, quelle prévision de l’indice des
prixàlaconsommationpouvait-onfairefin1997pour1998?
d. Onsaitaujourd’huiquel’indicedesprixàlaconsommationen1998était
de 116. Calculer le pourcentage de l’erreur commise en utilisant la pré-
visiontrouvéeen3.c..
Exercice2 5points
(pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité)
Unmagasinvenddessalonsdejardin.
Uneenquêtestatistiqueamontréque:
– 10%despersonnesquientrentdanslemagasinachètentunetable;
– parmilespersonnesquiachètentunetable,80%achètentunlotdechaises;
– parmi les personnes qui n’achètent pas de table, 10% achètent un lot de
chaises.
Unepersonneentredanslemagasin.
OnnoteTl’évènement:«Lapersonneachèteunetable»
OnnoteCl’évènement :«Lapersonneachèteunlotdechaises»
1. Traduire à l’aide d’un arbre pondéré ou d’un tableau la situation décrite ci-
dessus.
2. a. Montrer que la probabilité que la personne achète un lot dechaises est
égaleà0,17.
b. Quelle est la probabilité que la personne n’achète pas de table sachant
qu’elleaachetéunlotdechaises?BaccalauréatESAmériqueduSud A.P.M.E.P.
3. Àlafindelajournée,ledirecteurdumagasinconstatequ’ilaréaliséenmoyenne
unbénéficede11,80( parpersonneentrantdanslemagasin.
Onsaitqueledirecteurafaitunbénéficede50(partablevendue.
On appelle x le bénéfice exprimé en euros qu’il a réalisé par lot de chaises
vendues.Onseproposedecalculer x.
a. Reproduire et compléter le tableau suivant définissant la loi de proba-
bilité«montant dubénéficeréaliséparpersonne entrantdanslemaga-
sin».
Montantdubénéfice 0 50 x 50?x
Probabilité
b. Montrerquel’espérancemathématiquedecetteloiestégaleà5?0,17x.
c. Conclure.
EXERCICE 2 5points
(pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité)
Au cours de la première semaine de l’année scolaire, un professeur propose aux
élèvesdesaclasselechoixentredeuxsortiespédagogiquesunesortieAetunesortie
B.
20%desélèvesdelaclassesontfavorablesàlasortieAettouslesautresélèvessont
favorablesàlasortieB.
Lesargumentsdesunsetdesautresfontévoluercetterépartitionencoursd’année.
Ainsi30% desélèves favorablesàla sortieAet20% desélèves favorablesàla sortie
Bchangentd’avislasemainesuivante.
Onnote:
a laprobabilitéqu’unélèvesoitfavorableàlasortieAlasemainen;n
b laprobabilitéqu’unélèvesoitfavorableàlasortieBlasemainen;n
P lamatrice(a ; b )traduisantl’étatprobabilistelasemainen.n n n
1. Déterminerl’étatinitialP .1
2. Représenterlasituationparungrapheprobabiliste.
µ ¶
0,7 0,3
3. EndéduirequeP ?P ?MoùMestlamatricen?1 n
0,2 0,8
4. Déterminer l’étatprobabilisteP etendéduirelaprobabilitéqu’unélèvesoit3
favorableàlasortieAlatroisièmesemaine.
5. Déterminerleréelx telque(x ;1?x)?M?(x ; 1?x).
Onadmetquelasuite(a )estcroissante.LasortieAfinira-t-elleparêtrepré-n
féréeàlasortieB?
novembre2004 2BaccalauréatESAmériqueduSud A.P.M.E.P.
EXERCICE 3 6points
Lafigureci-dessousreprésentelafonction f définiesurl’intervalle]0;?1[par
lnx
f(x)?
2x
y
e xO
?1 1 2 3
?1
?2
oGraphiquen 1
p
1. a. Démontrerquelafonctionprésenteunmaximumenx? eetqu’ilvaut
1
.
2e
b. Donnerlesignede f(x)sur]0;?1[.
2. UneprimitiveF delafonction f estreprésentéeci-dessous:
3
2
1
O
?1 1 2 3 4
?1
oGraphiquen 2
¡ ¢2e?2 p 3
EllevérifiedeplusF(e)? , F e ?2?p .
e e
a. Les variations de la fonction F semblent-elles cohérentes avec le résul-
tartdelaquestion1.b.?Justifiervotreréponse.
b. Donner,enlejustifiantlecoefficientdirecteurdelatangenteàlacourbe
p
représentantF aupointd’abscisse e.
oc. Exprimer,enunitésd’aire,l’airedelapartiegriséesurlegraphiquen 1.
?1?lnx
d. LafonctionGdéfiniesurl’intervalle]0;?1[parG(x)? estune
x
primitivedelafonction f.
ExprimerF(x)enfonctiondex,pour x2]0;?1[.
novembre2004 3BaccalauréatESAmériqueduSud A.P.M.E.P.
EXERCICE 4 4points
Soit f lafonctiondelavariableréelledéfiniesur[0;10]par
90
f(x)? .
?x2?e
1. Montrerquelafonction f eststrictementcroissantesur[0;10].
2. Calculer f(0)et f(10).
3. Déduire des questions précédentes que l’équation f(x)? 44 admet exacte-
ment une solution dansl’intervalle [0; 10]. Donner un encadrement decette
solutionpardeuxentiersconsécutifs.
x2e
4. a. Vérifierque f(x)?45 etendéduireuneprimitivede f sur[0;10].
x2e ?1
Z µ ¶2 22e ?1
b. Montrerque f(x)dx?45ln .
30
90
5. Soitg lafonctiondeNversRdéfinieparg(x)? .
?x2?e
Lafonction g peutmodéliser l’évolution desexportationsd’uneentreprise, x
étantletempsécouléenannéesdepuisle01/01/2000etg(x)étantlemontant
desexportationsenmillionsd’eurosdel’annéecorrespondante.
a. Quelestlemontantdesexportationsdel’entrepriseau01/01/2000?
b. Enquelleannéelesexportationsdépasseront-elles44millionsd’euros?
L’entreprise peut-elle espérer que ses exportations dépasseront 45 mil-
lionsd’eurossurl’unedesonzeannées2000à2010?
novembre2004 4