Baccalauréat ES Amérique du Sud novembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat ES Amérique du Sud \ 16 novembre 2011 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Soit u une fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]?∞ ; 3[. On note u? la dérivée de u. On donne ci-dessous la courbe Cu représentant la fonction u. L'axe des abscisses et la droite d'équation x = 3 sont deux asymptotes à Cu . La droite d'équation y = e est tangente à la courbe Cu en son point d'abscisse 1. La courbe Cu coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse ?1 et lui est tangente au point d'abscisse 2. 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3-1-2-3-4-5 0 Cu y = e Cet exercice est un « Vrai-Faux ». Voici huit affirmations. Pour chacune d'entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse. On ne demande aucune justification. Chaque bonne réponse apporte 0,5 point. 1. a. u?(1)= e. b. lim x??∞ u(x)= 0. c. lim x?3 u(x)=+∞. d. L'équation u(x)= 1 admet exactement trois solutions. 2. Soit f la fonction définie et dérivable sur ]?1 ; 2[ telle que f = ln(u).

• axe des abscisses


• borne de péage défec


• temps au travail scolaire


• adepte de jeux vidéo en ligne


• évènement


• points commun

Sujets

• Recherche (homonymie)
• Événement

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2011
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatESAmériqueduSud\
16novembre2011
L’utilisationd’unecalculatriceestautorisée.
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Soitu unefonctiondéfinieetdérivablesurl’intervalle]?1; 3[.
0Onnoteu ladérivéedeu.
Ondonneci-dessouslacourbeC représentantlafonctionu.u
L’axedesabscissesetladroited’équation x?3sontdeuxasymptotesàC .u
Ladroited’équation y?eesttangenteàlacourbeC ensonpointd’abscisse1.u
LacourbeC coupel’axedesabscissesaupointd’abscisse?1etluiesttangenteauu
pointd’abscisse2.
Cu
6
5
4
3
y?e
2
1
0-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-1
Cet exercice est un «Vrai-Faux». Voici huit affirmations. Pour chacune d’entre elles,
indiquersielleestvraieoufausse.Onnedemandeaucunejustification.
Chaquebonneréponseapporte0,5point.
01. a. u (1)?e.
b. lim u(x)?0.
x!?1
c. limu(x)??1.
x!3
d. L’équationu(x)?1admetexactementtroissolutions.
2. Soit f lafonctiondéfinieetdérivablesur]?1; 2[telleque f ?ln(u).
0Onnote f safonctiondérivée.
a. Surl’intervalle]?1; 0[, f changedesigne.
10b. f (1)? .
e
c. L’équation f(x)?2n’admetaucunesolution.
d. lim f(x)?0.
x!?1BaccalauréatES A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 4points
Communàtouslescandidats
Dansuncadreéconomique, onappelle fonction desatisfaction unefonction f dé-
finieetdérivablesurunepartiedeRetàvaleursdansl’intervalle[0;100].
Onditqu’ilya«saturation»lorsquelafonctiondesatisfactionprendlavaleur100.
La fonction v, dérivée de la fonction f, est appelée fonction «envie». On a donc
0v? f .
Onditqu’ilya«envie»lorsque v estpositive,sinononditqu’ilya«rejet».
Charlotte doit rédiger un mémoire de recherche. Elle souhaite connaître la durée
quotidienne detravail qui lui convient le mieux, sachant qu’elle a la possibilité d’y
consacrerentre0 et8 heures par jour. Endébutdejournée, elle est deplus en plus
efficace,maisaprèsuncertaintempssaproductiviténelasatisfaitplus.
Elle modélise son taux de satisfaction en fonction du nombre d’heures x passées
quotidiennementàtravailler.
Lacourbereprésentantsasatisfaction f estdonnéeci-dessous.
Latangenteàcettecourbeaupointd’abscisse4estparallèleàl’axedesabscisses.
Lacourbepasseparl’originedurepèreetlatangenteencepointpasseparlepoint
decoordonnées(1;50).
y
100
80
60
50
40
20
x
O
1 2 3 4 5 6 7 8
1. Parlecturegraphiquerépondreauxquestionssuivantes:
a. Pourquelleduréedetravailquotidienya-t-il«saturation»?
b. Surquelintervalleya-t-il«envie»?
c. Surquelintervalleya-t-il«rejet»?
d. Donnerv(4).
2. Onadmettraquelafonctionv esticiunefonctionaffinedéfiniesurl’intervalle
[0;8].
25
Expliquerpourquoisonexpressionest: v(x)?? x?50.
2
3. Sachantque f(0)?0,déterminer f(x)pour x2[0; 8].
4. Endéduirelesvaleursdex pourlesquelleslasatisfactionprendlavaleur75.
EXERCICE 3 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Danstoutcetexerciceondonneralavaleurexactedechaquerésultat.
Grâceàunsystèmededétecteur,unebornedepéageautomatiquepeutdélivrerdes
tickets àdeux hauteurs différentes selon levéhicule détecté afinque leconducteur
nesoitpasobligédesortirpourlesaisir:
AmériqueduSud 2 16novembre2011BaccalauréatES A.P.M.E.P.
? s’il s’agit d’une voiture, d’une moto ou d’une camionnette, le ticket sort en
bas;
? s’ils’agitd’uncamion,leticketsortenhaut.
La société d’autoroute a modélisé le fonctionnement défectueux du détecteur de
l’unedecesbornes:
? lorsqu’uncamionpasse,iln’estcorrectementdétectéquedeuxfoissurtrois;
? lorsqu’un autre type de véhicule passe, son conducteur est contraint d’en
sortirpoursaisirsonticketunefoissurquatre.
Onestimequ’àcettebornedepéage60%desvéhiculessontdescamions.Onconsi-
dèrelesévènements suivants:
? C:«Levéhiculequiseprésenteestuncamion»
? H:«Leticketsortenhaut»
? B:«Leticketsortenbas».
Notation:pourtoutévènement Eettoutévènement Fdeprobabiliténonnulle,on
notep(E)laprobabilitédel’évènementEet p (E)laprobabilitéconditionnelledeEF
sachantF.
1. Donnerlesprobabilités: p(C);p (H)et p (B).C C
2. Construireunarbreprobabilisteprésentantlasituation.
3. Calculerlaprobabilitéqueleticketsorteenhaut.
4. Montrer que la probabilité qu’un conducteur ne soit pas obligé de sortir de
sonvéhiculepoursaisirleticketvaut0,7.
5. Trois véhicules se présentent l’un après l’autre à cette borne depéage défec-
tueuse.Onmodélisecettesituationcommeuntirageavecremise.
Calculerlaprobabilitéqu’aumoinsl’undesconducteurssoitcontraintdedes-
cendredesonvéhiculepoursaisirsonticket.
EXERCICE 3 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
FranckGeekestadeptedejeuxvidéoenligne.Afindepréserversontempsdetravail
scolaire,ilessayedesemodérer.Ilconstateque:
? s’ilajouéunjour,laprobabilitéqu’ilnelefassepaslelendemainestde0,6;
? s’iln’apasjouéunjour,laprobabilitéqu’iljouelelendemainestde0,9.
Lejourdelarentrée(premierjour),Franckadécidédenepasjouer.
1. a. QuelleestlaprobabilitéqueFranckjoueledeuxièmejour?
b. Quelleestlaprobabilitéqu’ilnejouepasledeuxièmejour?
2. Onnote Dl’évènement :«Franckajoué» etEl’évènement :«Franckasuré-
sister».
a. Modélisercettesituationparungrapheprobabiliste.
b. Donnerlamatricedetransition M associéeàcegraphe.
3. Soit n un entier naturel non nul. Soient D l’évènement : «Franck a joué len
n-ièmejour»etE l’évènement :«Franckasurésisterlen-ièmejour».n
L’état probabiliste lors du n-ième jour est alors donné par la matrice ligne
P ?(d e ) où d désigne la probabilité de l’évènement D et e celle den n n n n n
l’évènement E .n
OnaainsiP ?(0 1).1
a. DéterminerP .2
b. DonnerlarelationliantP etP .n?1 n
c. Endéduireque,pourtoutentiernatureln,d ??0,5d ?0,9.n?1 n
4. Pourtoutentiernatureln nonnul,onposeu ?d ?0,6.n n
AmériqueduSud 3 16novembre2011BaccalauréatES A.P.M.E.P.
a. Démontrerquelasuiteu estunesuitegéométrique.
Précisersaraisonetlavaleurdesonpremierterme.
b. Exprimeralorsu puisd enfonctionden.n n
c. Calculer lim d etinterprétercerésultat.n
n!?1
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
Unesubstancemédicamenteuseestinjectéeparvoieintraveineuse.Danslesheures
quisuiventl’injection,lasubstanceestéliminéeparlesreins.
La quantité q de substance présente dans le sang (q en milligrammes) à l’instanti i
t (t enheures)aétémesuréepardesprisesdesangtouteslesdeuxheures.i i
t (enheures) 0 2 4 6 8i
q (enmg) 9,9 7,5 5,5 3,9 3i
PartieA-Modélisationparunefonctionaffine
¡ ¢
Lenuagedepointsassociéàlasérie t ; q ,représentédansunrepèreorthogonal,i i
estdonnésurlafeuilleannexe,àrendreaveclacopie.
1. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite (D) d’ajus-
tement affine de q en t par la méthode des moindres carrés. On donnera la
valeurdescoefficientsarrondieaucentième.
2. Tracerladroite(D)surlafeuilleannexe.
3. En supposant que ce modèle reste valable pendant 12 heures, donner une
estimation de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de
12heures.
PartieB-Autremodélisation¡ ¢
ln qi
Onpose y ? .i
ln(10)
1. Compléter letableaudel’annexe.Onarrondiralesvaleursaucentième.
2. a. Déterminer,àl’aidedelacalculatrice,uneéquationdelaformey ?at?b
de la droite d’ajustement affine de y en t par la méthode des moindres
?3carrés.Onarrondiraa à10 etb àl’unité.
b. Montrer que l’expression de q en fonction de t obtenue à partir de cet
?Atajustement estdelaforme : q(t)?Be (ondonnera l’arrondiau cen-
tièmede A etlavaleurdeB arrondieàl’unité).
3. Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;12]par:
?0,15tf(t)?10e .
a. Étudierlesensdevariationdelafonction f.
b. Onsupposequelaquantité q desubstanceprésentedanslesangàl’ins-
tant t (t expriméenheures)estdonnéepar q(t)? f(t)pour t variantde
0à12heures.
?1Calculer à 10 près la quantité de substance présente dans le sang au
boutde12heures.
c. Encomparantlesréponsestrouvéesàlaquestionprécédenteetàlaques-
tion3delapartieA,direlequeldecesdeuxmodèlesvousparaîtlemieux
adaptéàlasituation.
AmériqueduSud 4 16novembre2011BaccalauréatES A.P.M.E.P.
PartieC-Valeurmoyenne
1. SoitF lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;12]par:
200 ?0,15tF(t)?? e .
3
Mont