Baccalauréat STI Nouvelle–Calédonie novembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée

• redaction

[ Baccalauréat STI Nouvelle–Calédonie \ novembre 2009 Génie électronique, électrotechnique et optique EXERCICE 1 4 points Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . Partie I Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation d'inconnue z : z2?6z+12= 0. Partie II Leplan complexe estmuni du repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) d'unité graphique 1 cm. Soit A le point d'affixe zA = 3+ i p 3. 1. Déterminer le module et un argument de zA. Placer le point A dans le repère ( O, ??u , ??v ) . 2. Soit R la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M ? d'affixe z ? définie par z ? = ( ei π 3 ) z. a. Quelle est cette transformationR ? Préciser ses éléments caractéristiques. b. On appelle B l'image du point A par la transformation R. On note zB l'af- fixe du point B. Calculer la forme algébrique de zB. Placer le point B dans le repère ( O, ??u , ??v ) . c. Quelle est la nature du triangle OAB? Justifier la réponse. 3. Soit T la translation de vecteur ?? w d'affixe z?? w =?2 p 3i.

• repère orthonormal


• équation de la tangente ∆


• translation de vecteur ??


• nature du quadrilatère ocab


• exploitation graphique de la courbec


• solution dans l'intervalle


• ?? ?


• réponse exacte sur la copie


• point d'affixe za

Sujets

• Redaction
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2009
• Nombre de lectures: 37

Extrait

[BaccalauréatSTINouvelle–Calédonie\
novembre2009
Génieélectronique,électrotechniqueetoptique
EXERCICE 1 4points
π
Lenombreiestlenombrecomplexedemodule1etd’argument .
2
PartieI
Résoudre,dansl’ensembledesnombrescomplexes,l’équationd’inconnue z :
2z −6z+12=0.
PartieII
¡ ¢→− →−Leplancomplexeestmunidurepèreorthonormal O, u, v d’unitégraphique1cm.p
SoitAlepointd’affixez =3+i 3.A
1. Déterminer le module et un argumentde z .Placer le point A dansle repèreA¡ ¢→− →−O, u, v .
2. Soit R latransformationduplanquiàtoutpoint M d’affixe z associelepoint³ ´
π′ ′ ′ i 3M d’affixez définieparz = e z.
a. QuelleestcettetransformationR ?Précisersesélémentscaractéristiques.
b. OnappelleBl’imagedupointAparlatransformationR.Onnotez l’af-B
fixedupointB.Calculerlaformealgébriquedez .PlacerlepointBdansB¡ ¢→− →−lerepère O, u, v .
c. QuelleestlanaturedutriangleOAB?Justifierlaréponse.
p−→
3. SoitT latranslationdevecteur w d’affixez−→=−2 3i.
w
a. On appelle C l’image du point A par la transformation T. On note zC
l’affixe dupoint C. Calculer la forme algébrique de z . Placer le point CC¡ ¢→− →−
danslerepère O, u, v .
b. Danscettequestion,touterédaction,mêmepartielle,serapriseencompte.
QuelleestlanatureduquadrilatèreOCAB?Justifierlaréponse.
EXERCICE 2 5points
1. Résoudrel’équationdifférentielle(E):
′′y +4y=0.
où y estunefonctiondelavariablex,deuxfoisdérivablesurl’ensembleRdes
nombresréels.
1 ′2. Déterminerlasolution f de(E)quivérifie: f(0)= et f (0)=0.
4
3. Montrer que la fonction g définie sur l’ensemble R des nombres réels par
′′g(x)=3sinx estsolutiondel’équationdifférentielle y +y=0.
4. Pourtoutnombreréel x,ondéfinitlafonctionh par:
1
h(x)=3sinx+ cos2x.
4
′Calculerh (x)pourtoutnombreréel x.BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique
5. Questionnaireàchoixmultiples:
pourchaquequestion,ilyauneseuleréponseexacte;recopierlaréponseexacte
sur la copie. Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point. Aucune justification
n’estdemandée.
³ ´π
a. Quelleestlavaleurdeh ?
2
1 11
⊲ 3 ⊲ − ⊲
4 4
b. Quelleestlavaleurmoyennedelafonctionh surl’intervalle [0; π]?
3 6
⊲− ⊲0 ⊲
π π
c. Combien l’équation h(x)= 0 admet-elle de solutions dans l’intervalle
[0; 2π]?
⊲0 ⊲1 ⊲2
PROBLÈME 11points
¡ ¢→− →−Danstoutleproblème,leplanestmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  .
LacourbeC tracéesurl’annexeci-jointeestlareprésentationgraphiqued’unefonc-
tion f définieetdérivablesurl’ensembleRdesnombresréels. µ ¶
3
LacourbeC coupel’axedesabscissesenOetaupointAdecoordonnées ; 0 .
2
1
Onadmetquelestangentes àla courbeC auxpoints d’abscisses et3sontparal-
2
lèlesàl’axedesabscisses.
Ladroite?esttangenteàlacourbeC aupointOetpasseparlepointBdecoordon-
nées(−1; 3).
PartieIExploitationgraphiquedelacourbeC
· ¸
1 7
1. Résoudregraphiquementl’équation f(x)=0surl’intervalle − ; .
2 2
· ¸
1 7
2. Donnerlesignede f(x)surl’intervalle − ; .
2 2
µ ¶
1′ ′3. Donnerlesvaleurs f et f (3).
2
′4. Donneruneéquationdelatangente?.Endéduire f (0).
· ¸
1 7′5. Résoudregraphiquementl’inéquation f (x)>0surl’intervalle − ; .
2 2
PartieIIÉtudedelafonction f
Lafonction f estdéfiniesurl’ensembleRdesnombresréelspar
¡ ¢2 −xf(x)= 2x −3x e .
1. Déterminerlalimitedelafonction f en−∞.Justifierlaréponse.
22x 3x
2. Justifier que pour tout nombre réel x, f(x)= − puis déterminer la li-
x xe e
mitedelafonction f en+∞.
Endéduirel’existenced’uneasymptoteàlacourbeC.
′3. Onappelle f lafonctiondérivéedelafonction f.Calculer,pourtoutnombre¡ ¢
′ ′ 2 −xréel x, f (x)puismontrerque f (x)= −2x +7x−3 e .
Nouvelle–Calédonie 2 novembre2009BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique
′4. Étudier le signe de f (x). En déduire les variations de la fonction f sur l’en-
sembleRdesnombresréels.
5. Déterminer une équation de la tangente à la courbeC au point A d’abscisse
3
.
2
PartieIIICalculd’aire
1. Calculer f(2).Montrerquelafonction f estpositivesurl’intervalle[2;3].
¡ ¢
2 −x2. Montrer que la fonction F définie surR par F(x)= −2x −x−1 e est une
primitivedelafonction f surl’ensembleRdesnombresréels.
3. SoitD ledomaineduplancomprisentrel’axedesabscisses,lacourbeC etles
droitesd’équation x=2etx=3.
a. Surl’annexe,hachurerledomaineD.
b. Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte de l’aire du domaineD, puis
donnerunevaleurapprochéeaucentièmedel’airedudomaineD.
Nouvelle–Calédonie 3 novembre2009BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique
y
C
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B
3
2
1
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
1
2 AO
→− x
−1 ı 1 2 3
−1
Nouvelle–Calédonie 4 novembre2009
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