Correction de DL n8 CCP PSI premiere epreuve corrige

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Correction de DL n8 CCP 2006 -PSI premiere epreuve : corrige Partie I. 1.1. D'apres la formule du binome, n∑ k=0 ( n k ) = (1 + 1)n = 2n 1.2. On a donc ?n ? N, a?n = 1. 1.3. Les series ∑ (an) et ∑ (a?n) sont grossierement divergentes. 2.1. La formule du binome indique que ?n ? N, a?n = 1 2n (z + 1)n 2.2.1. On sait calculer les sommes geometriques. La raison z etant differente de 1, n∑ k=0 zk = 1? zn+1 1? z Pour |z| < 1 ce terme admet une limite. ∑ (an) converge et A(z) = ∞∑ n=0 zk = 1 1? z 2.2.2. On a ? ? z+1 2 ? ? ≤ 1+|z|2 < 1 et ∑ (a?n) est donc aussi une serie geometrique convergente de somme ∑ n≥0 a?n = 1 1? z+12 = 2 1? z = 2A(z) 2.3.1. La serie ∑ (an) est grossierement divergente (terme general qui n'est pas de limite nulle).

• serie entiere sur l'intervalle ouvert de convergence


• sn ?


• etant de limite l?


• ?2n ?


• serie entiere


• rayon de convergence infini


• serie geometrique convergente de somme


• limite nulle


• somme de la serie entiere

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Série entière

Informations

• Publié par: profil-mazor-2012
• Nombre de lectures: 55
• Langue: Français

Extrait

Correction de DL n8CCP 2006 -PSI premie`ree´preuve:corrige´

Partie I. 1.1.D’apr`eslaformuledubinoˆme, n   X n n n = (1 + 1)= 2 k k=0 ∗ 1.2. Ona donc∀n∈N, a= 1. n P P ∗ 1.3.Lesse´ries(a n () eta`issmerenos)orgtntge.estdeneriv n 2.1.Laformuledubinˆomeindiqueque 1 ∗n ∀n∈N, a= (z+ 1) n n 2 2.2.1.Onsaitcalculerlessommesge´om´etriques.Laraisonzreneeted,1´etantdiff´ n X n+1 1−z k z= 1−z k=0 P Pour|z|<(1 ce terme admet une limite.a n ) converge et ∞ X 1 k A(z) =z= 1−z n=0 P 1+|z|  z+1 ∗ 2.2.2. Ona≤<(1 etameomesedntgeernvoceuqirte´moe´geunes´erioncaussi)sedt n 2 2 X 1 2 ∗ a= == 2A(z) n z+1 1− 1−z 2 n≥0 P 2.3.1.Lase´rie(a n teenrgveg´meer(tqlare´neptse’niu)estise`rgsotnideremasdelimitenulle). ∗n 2.3.2. Siz=−2 alorsa= (−1/.etne´moirgesee´’dnuergeconvique´etr2)steetelgemr´ne´lare n iθ ∗ e+1 iθ/2 2.3.3. (ae)m´eog´teuiesunstreianoteiruqdercos(= =θ/2)e. Commeθ∈]0, π[,|r| ∈]0,1[ n 2 P ∗ et (a) converge et n ∞ −iθ/2 X 1 2iecos(θ/2) ∗ a= =1 += =i k iθ 1−r1−esin(θ/2) sin(θ/2) n=0 Partie II. 1.1.1. Ona   k n n(n−1). . .(n−k+ 1)n =∼ k k!k! n→+∞ 1.1.2.Parcroissancecompar´ees,onadonc   1n lim =0 n 2k n→+∞

1