Correction du Devoir Libre n PSI

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Correction du Devoir Libre n?16 PSI MATHEMATIQUES e3a PSIB 2007 Partie A. 1. ? est continue sur le segment [0, T ] et donc bornee sur ce segment. Par ailleurs, ? est T -periodique et donc ?(R) = ?([0, T ]). ? est finalement bornee sur R. 2. La periodicite de ? s'ecrit ?x ? R, ?(x + T ) = ?(x) En derivant cette relation (ce que l'on peut faire si ? est derivable) on obtient ?x ? R, ??(x + T ) = ??(x) et ?? est donc T -periodique. 3. On verifie le critere des sous-groupes. - P? est inclus dans R et non vide (il contient 0). - Soient t, t? ? P?. On a alors ?x ? R, ?(x + (t + t?)) = ?((x + t) + t?) = ?(x + t) = ?(x) et t + t? ? P?. - Soit t ? R ; on a ?x ? R, ?(x? t) = (x? t + t) = ?(x) et donc ?t ? P?. P? est donc un sous-groupe de (R,+).

• y0 avec la question precedente


• trouvee y0


• unique solution


• y1 ?


• correction du devoir libre n?16


• y0

Informations

• Publié par: sucun
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• Langue: Français

Extrait

◦ Correction du Devoir Libren16 PSI MATHEMATIQUES e3a PSIB 2007 Partie A. 1.φest continue sur le segment [0, Tru,s]ternboncdoceures´e.tnemgeselliaraPφestT-´preoidique et doncφ(R) =φ([0, T]).φseanfit´ernuresmelebontR. 2.idicreoiaL´pet´edφit´ecrs’ ∀x∈R, φ(x+T) =φ(x) Ende´rivantcetterelation(cequel’onpeutfairesiφnetdtse´erivable)onobti 0 0 ∀x∈R, φ(x+T) =φ(x) 0 etφest doncToire´p-.euqid 3..seseosredeorpusug-erifiOnv´rit`elec -P φ est inclus dansRet non vide (il contient 0). 0 - Soientt, t∈P φ . On a alors 0 0 ∀x∈R, φ(x+ (t+t)) =φ((x+t) +t) =φ(x+t) =φ(x) 0 ett+t∈P φ . - Soitt∈R; on a ∀x∈R, φ(x−t) = (x−t+t) =φ(x) et donc−t∈P φ . P φ est donc un sous-groupe de (R,+). Partie B. 1.Gan’´tenaptsa´rdeiu`t{0}lc,itiontuenle´neme´tnm6= 0. Comme c’est un groupe, il contient aussi −m. Il contient donc|m|qui vautmou−m) et|m|>0. On a ainsi G∩]0,∞[6=∅ 2.a. i.aest le plus grand minorant deG∩]0,∞[. 2a > an’est donc pas un tel minorant et ∃t 1 ∈G∩]0,∞[/ t 1 <2a On raisonne par l’absurde et on suppose quea∈/ G. On a donct 1 e´emtnedquiestun´elG∩]0,∞[ diffe´rentdea. Commeaminore l’ensemble, on a donca < t 1 . Comme on a construitt 1 , on peut alors construire t 2 ∈G∩]0,∞[/ t 2 < t 1 et on aa≤t 2 < t 1 <2a.t 1 −t 2 el´emeensttalorsun´edG∩]0,∞[ (Gdilaerff´ougretpeetsnuecne dedeuxe´le´mentsdeGest dansGett 1 −t 2 >0 par construction). On a donca≤t 1 −t 2 et ceci est faux. Onaainsimontr´equesia >0 alorsa∈G. ii.Unere´currencesimplemontrealors,Gnaut´teupe,ngroque∀n∈N, na∈Gsiupilibats(eedt´G parpassageausyme´trique)que aZ⊂G Re´ciproquement,soity∈G. Soity=qa+rla division euclidienne deypara(q=E(y/a) et r∈[0, a[).r=y−qaededneec´ffrealide´exsutme´lstneedGet est donc dansGPa.dre´nfitioidne a,Gn’apasd’´el´emen0]snadst, a[ et on a doncr= 0. Ainsi,y=qa∈aZ. On a finalement aZ=G