GÉOMÉTRIE

Utilisateur Pao

Description

classe de première, Secondaire - Lycée, 1ère

• cours - matière potentielle : la démarche
• cours - matière potentielle : perspective parallèle
• cours - matière potentielle : type
• exposé

Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – géométrie – page 1 Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements GÉOMÉTRIE Le problème de la représentation plane de l’espace relève du patrimoine culturel de l’humanité, et s’est posé partout, dans le domaine graphique. Une question –même si ce n’est pas la seule– s’est sans aucun doute posée dès qu’Homo sapiens a commencé à dessiner : celle de la communication, c’est-à-dire de la recherche de modes de représentation susceptibles de permettre au spectateur d’identifier ce qu’a voulu représenter l’auteur de l’œuvre ; cette question est même devenue primordiale dans le cas des dessins « techniques ».

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• Langue: Français

Extrait

–

G OM TRIE
Le problŁme de la reprØsentation plane de l espace relŁve du patrimoine culturel de l humanitØ, et s’est pos Ø partout, dans le domaine graphique.
Une question mŒme si ce n est pas la se ule s est sans au cun doute posØe dŁs qu Homo sapiens a commencØ dessiner : celle de la
communication, c est- -dire de la recherche de modes de repr Øsentation susceptibles de permettre au spectateur d identifier ce qu a voulu
reprØsenter l auteur de l uvre ; cette question est mŒme de venue primordiale dans le cas des dessins « techniques ».
Il est important pour les ØlŁves, appelØs vivre dans un environnement de plus en plus dominØ par l image, de savoir dØcoder et pourquoi pas
encoder ?- les reprØsentations planes de l espace. Qui pl us est, certains domaines professionnels comme l architecture , la sc Ønographie ou
l archØologie font grand usage de reprØs entations variØes de l espace : vues, axonomØtries, perspectives Il s agit donc ici d e donner aux
ØlŁves une culture de base relativement aux modes de reprØsentation usuels de l espace, en Øtudiant plus particuliŁrement ceux qui sont fondØs
1sur la notion de projection sur un plan ; en effet, la perspective dite « cavaliŁre » -qu il est prØfØrable d appeler « parallŁ le » - est couramment
utilisØe comme dessin technique en architecture et dans l industr ie, tandis que la perspective « point de fuite », Øgalement trŁs utilisØe en
architecture, a servi de fondement tous le s arts picturaux pendant plusieurs siŁcles.
Comme nous l avons dit, l un des buts possibles assignØs aux reprØsentations de l espace est de pe rmettre au spectateur de se reprØsenter
2mentalement la situation spatiale en jeu. Dans le cas du dessin on cherche, pour y parvenir, d une part produire un dessin qui « ressemble »
la vision qu on peut (pourrait) en avoir ha bituellement, et d autre part prØserver sur ce dessin certaines propriØtØs de la situation, de fa on
faciliter le passage de la situation sa reprØsentation et vice versa, c est- -dire l Øcriture et la lecture du dessin. Ces deux soucis qu on pourrait
appeler « visuel » et « gØomØtrique » s ont le plus souvent antagonistes, et on est ainsi amenØ, par nØcessitØ, faire des ch oix destinØs les
concilier « au mieux », selon le but recherchØ.
3Prenons l exemple du dessin d une pyramide rØguliŁre base carrØe « squelette » :



Le dessin de gauche est une reprØsentation trŁs frØquente chez les jeunes enfants (cycle 3 de l Øcole ØlØmentaire et dØbut du c ollŁge) : elle
conserve beaucoup de propriØtØs gØomØtriques de l objet (base carrØ e, faces isocŁles, symØtries, etc.) mais ne se donne pas directement lire
comme un dessin de pyramide (qui serait vue de dessus) : on y voit plut t un objet plan (carrØ avec ses diagonales). A l invers e, le dessin de
4droite, reprØsentation de type « photographique », est per u comme le dessin d un objet de l espace, ma is peu de propriØtØs ØlØmentaires y sont
conservØes, part l alignement. Entre ce s deux cas extrŒmes, on peut trouver des reprØsentations trŁs variØes qui, tout en donnant une
impression de relief, prØserveront certaines propriØtØs de l objet. La perspective parallŁle (ØtudiØe en classe de premiŁre) et la perspective
centrale (ØtudiØe en classe terminale) sont deux systŁmes de reprØsentation permettant de conjuguer, d une fa on jugØe optimale eu Øgard aux
objectifs visØs par la reprØsentation, les deux soucis indiquØs plus haut.
Pour aborder l Øtude de ces systŁmes de re prØsentation et aider les ØlŁves en comprendre les principes, le programme a choisi de se baser,
d une maniŁre en quelque sorte mØta phorique, sur l Øtude du phØnomŁne de l ombre, qui fait partie de notre quotidien et peut donc Œtre observØe
loisir : ombre « au soleil » en classe de premiŁre, ombre « au flambeau » en classe terminale. Les ØlØments sur lesquels porte cette mØtaphore
et les limites de celle-ci sont prØcisØs ; le passage de l ombre la perspective s’opŁre ensuite gr ce la notion (gØomØtriq ue) de projection sur
5un plan. La dØmarche suivie dans le programme peut donc Œtre schØmatisØe sous la forme suivante :
OMBRE VISION



PROJECTION
SUR UN PLAN

PERSPECTIVE

1 Pour des raisons qui seront prØcisØes plus loin.
2 Il peut, selon le cas, s agir d un objet ou d un ensemble organisØ d objets.
3 C est- -dire rØduite ses arŒtes.
4
Du moins par quelqu un qui a dØj rencontrØ un tel objet.
5
Si le mot « vision » convient la perspective linØaire, oø on peut supposer un observateur borgne placØ au point de vue, i l n est pas rØellement adaptØ la
perspective cavaliŁre, car il faudrait imaginer l observateur l infini ; c est donc par abus de langage ou « passage la li mite » que nous utilisons le mot
« vision » dans les deux cas.
SØrie L mathØmatiques projet de document d accompagnement gØomØtrie page 1
Direction de l enseignement scolair e bureau du contenu des enseignements –

Ces divers ØlØments se situent dans trois « mondes » diffØrents : les phØnomŁnes de l ombre et de la vision se rattachent au monde physique,
tandis que la perspective est une reprØsentation de l espace phys ique dessinØe sur un support plan ; quant la projection, ell e appartient une
thØorie gØomØtrique qui modØlise la fois l ombre et la perspective.
Cette entrØe par l ombre permet de donner du sens la notion de reprØsentation en pers pective. Comme il s agit simplement d ob server et de
noter quelques propriØtØs de ce phØnomŁne physique, il n est pas nØcessaire d y consacrer trop de temps en classe : ce travail peut Œtre entrepris
tout moment par les ØlŁves, sous forme de travail personnel, et la synthŁse, rØalisØe en classe l aide d un « cube squelett e », servant de point
de dØpart l Øtude gØomØtrique de la pe rspective. On trouvera en Annexe des idØes de matØriels utilisables cette fin.

CLASSE DE PREMI¨RE : LA PERSPECTIVE PARALL¨LE
La perspective parallŁle propose un systŁme de reprØsentation comparable un phØ nomŁne physique banal ; sa relative simplicitØ d utilisation,
comme l intØrŒt des propriØtØs conservØes, f ont que ce systŁme constitue un vØritable dessin technique, et non seulement une simple aide
visuelle, ce qui explique son utilisation quasi exclusive dans l enseignement de la gØomØtrie de l espace. RØaliser un dessin c orrect consiste en
fait rØsoudre un problŁme de gØ omØtrie, permettant en outre ce qui n est pas si frØquent un auto-contr le relativement aisØ sur la production
elle-mŒme.
Notons cependant qu il ne s agit pas de faire aux ØlŁves un cours de perspective parallŁle, mais d observer que l ombre au soleil d un objet
« squelette » est une image de cet objet (plus ou moins dØformØe) analogue celles qui sont utilisØes en gØomØtrie de l espace, et que certaines
propriØtØs de l objet (alignement , parallØlisme, etc.) se retrouvent Øgalement sur son ombre. Sur la base de cette observation, on se propose
ensuite d Øtudier une modØlisation gØomØtrique de ce phØnomŁne, dans le but de la dØfinir comme perspective parallŁle et, par contrecoup, de
comprendre pourquoi les propriØtØs de l ombre au soleil et de la perspective parallŁle sont ce qu el les sont. Ce qui permettra d utiliser le
dessin en perspective parallŁle comme un dessin technique, et non plus comme un simple support visuel.
N.B. Ce qui suit n est pas un « cours type ». Il s agit seulement d un exposØ raisonnØ, destination de s enseignants, des idØes directrices
figurant dans le programme de la classe de premiŁre ; bien entendu, le professeur est tout fait libre d adopter une prØsentat ion et une
progression diffØrentes, dŁs lors qu elles sont compatibles avec le programme.
1. L ombre au soleil (synthŁse des observat ions personnelles faites par les ØlŁves)
DØmarche. On commence par observer l ombre au soleil d un cube squelette sur un plan, dans le but de conjecturer quelques propriØtØs des
ombres portØes ; pour les justifier, on rØalise des dessins dans des plans qui seront prØcisØs, dessins qui conduisent un mod Łle gØomØtrique et
permettent, le cas ØchØant, d effectuer des dØmonstrations de gØomØtrie plane.
Puis on opŁre le passage de l ombre au dessin et on poursuit l Øtud e des propriØtØs, que l on applique la rØsolution de probl Łmes de dessi