Mise en équation de problèmes en classe de quatrième
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Description

Classe de 4ème, Secondaire - Collège, 4ème
  • cours - matière potentielle : la résolution
  • mémoire
  • exposé
I.U.F.M. de l'Académie de Montpellier Site de Nîmes Mémoire professionnel Mise en équation de problèmes en classe de quatrième Mathématiques POIRIER Isabelle Professeur Stagiaire en Mathématiques Année 1999/2000 Classe de 4ème G Collège les Oliviers à Nîmes Sous la direction de Madame MARSAL Danielle Assesseur : Madame VALERO Marie-José
  • connu vers l'inconnu
  • résolution de l'équation
  • résolution d'équations
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Langue Français

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I.U.F.M. de l'Académie de Montpellier
Site de Nîmes




Mémoire professionnel





Mise en équation de problèmes
en classe de quatrième



Mathématiques







POIRIER Isabelle
Professeur Stagiaire en Mathématiques
Année 1999/2000
ème
Classe de 4 G
Collège les Oliviers à Nîmes

Sous la direction de Madame MARSAL Danielle
Assesseur : Madame VALERO Marie-José



Résumé





Lors de sa scolarité au collège, l'élève est invité à résoudre toutes
sortes de problèmes. Pour cela, il sera amené à les mettre en équation.
Véritable traduction de l'énoncé en langage algébrique, la mise en
équation est une étape délicate de la résolution d'un problème, surtout
dans la mesure où l'élève ne connaît que depuis peu ce langage
algébrique, et le maîtrise mal. Ce texte met en avant ces difficultés et
s'interroge sur les activités à proposer aux élèves pour les aider dans
leur tâche.



When at secondary school, pupils will have to solve all sorts of
problems. To this purpose, they will have to put them into equation.
This translation of the terms of the problem into algebraic language is
a delicate issue, especially because they still don't master this new
language. This text underlines these difficulties and wonders about
means of introducing this technique to pupils.

2 1 - Introduction


Au programme de mathématiques de la classe de quatrième figure, dans la partie B. Travaux
numériques, la résolution de problèmes conduisant à des équations du premier degré à une
inconnue. A ce propos, les commentaires précisent : "On dégagera chaque fois sur des problèmes
particuliers les différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l'équation et
interprétation du résultat."

Or, à la lecture de différents manuels scolaires de la classe de quatrième, je me suis rendue
compte de la pauvreté des activités proposées aux élèves. Dans la plupart des cas, le manuel se
contente, sur un exemple donné, de souligner les différentes étapes de la résolution : choix de
l'inconnue, mise en équation, résolution de l'équation et retour au problème pour l'interprétation du
résultat, sans proposer d'activité propre à chacune de ses étapes.

Cela signifie-t-il que les élèves, lors de la résolution d'un problème, ne rencontrent guère de
difficultés à partir du moment où ils ont compris cette syntaxe ? Au contraire, il me semble que
derrière cette méthode, qu'on leur présente un peu comme une recette miracle, se cachent beaucoup
de problèmes auxquels pourraient se heurter les élèves.


Déjà, si l'élève ne maîtrise pas la technique de résolution de l'équation, il aura bien évidemment
des difficultés pour résoudre le problème. Mais ce qui m'intéresse plus particulièrement ici, c'est la
première étape du travail, celle qui consiste en la mise en équation du problème. Elle ne me semble
pas tout à fait évidente pour un élève de quatrième, vu qu'en quelque sorte cette mise en équation
n'est pas une technique universelle (comme le serait la résolution de l'équation), mais dépend de
chaque énoncé.

Par ailleurs, le sujet de la mise en équation me semble intéressant à plus d'un titre.

D'abord, et c'est précisé une fois de plus dans les commentaires accompagnant le programme,
cette notion, par le biais des énoncés des problèmes, peut toucher à beaucoup de domaines
différents, que ce soit d'autres parties du programme de mathématiques, en géométrie par exemple,
ou encore d'autres disciplines. Pour travailler à la mise en équation, nous disposons donc d'un vaste
éventail de problèmes, et leurs origines diverses permettent d'éveiller facilement la curiosité et la
motivation, donc l'intérêt des élèves.

3 La mise en équation fait partie d'un processus qui consiste en la résolution d'un problème.
Même si je ne m'intéresserai pas ici à la partie concernant la résolution de l'équation, puis celle du
problème, il ne me semble pas raisonnable de s'arrêter à la mise en équation du problème, ce qui
ferait perdre sans aucun doute l'intérêt suscité chez les élèves, sans poursuivre par la résolution du
problème. Or, autour de la mise en équation, gravite l'équation elle-même et résoudre un problème
la mettant en cause est une bonne façon, je pense, de l'intégrer au sein des connaissances de l'élève
; en effet, celle-ci va enfin "servir" à quelque chose puisqu'elle représente un moyen d'accéder à la
solution.

A mon avis, certaines difficultés rencontrées par les élèves en mathématiques sont dues à une
incompréhension, ou tout du moins à une difficulté de s'approprier le langage mathématique.
Justement, la mise en équation ressemble à une traduction de la langue naturelle en langage
mathématique (plus précisément algébrique), et par ce processus, le professeur va pouvoir être à
même d'observer le fonctionnement de l'élève et son rapport à ce nouveau langage.


Enfin, une autre raison justifie le choix de ce thème, qui rejoint la précédente : la mise en
équation représente en quelque sorte le pas entre le monde réel, empirique (énoncé du problème), et
le monde mathématique (équation), et peut ainsi, par la suite, inviter progressivement l'élève à
considérer les mathématiques de façon plus autonome.


2 - Eclairage historique
d'après Jean-Paul Guichard, IREM de Poitiers


2-1. L'algèbre, le domaine des équations

èmeAl Khwarizmi, mathématicien à Bagdad au 9 siècle, publie un ouvrage sur les équations du
premier et second degré, avec des applications à des problèmes de géométrie et d'héritages, intitulé
Court traité sur le calcul d'al-jabr et al-muqabala. Le terme al-jabr, qui désigne une transformation
de base des équations, va donner le mot algèbre.
L'algèbre va dès lors désigner le domaine des équations. Mais il faut remarquer qu'à cette
époque le traitement des équations se fait sans aucun symbole, tout s'exprime dans le langage
ordinaire, l'inconnue s'appelle la chose et son carré le bien.

Le traité d'Al Khwarizmi marque la naissance d'une nouvelle discipline, mais la notion
d'équation n'était pas inconnue des mathématiciens : en fait, la recherche d'un nombre ou d'une
4 quantité inconnus se rencontre dès les débuts des mathématiques, chez les Babyloniens par
èmeexemple, ou chez Diophante d'Alexandrie dans ses Arithmétiques, au 3 siècle. Cependant, le fait
d'avoir inversé l'ordre ancien problème-équation, en faisant des équations le point de départ et
l'objet d'une étude mathématique, va produire une véritable rupture et fonder un nouveau domaine
des mathématiques.

Les générations suivantes ont enrichi l'algèbre avec les puissances supérieures de l'inconnue et
ème
la considération des équations du 3 degré. Le Moyen Age européen a hérité de l'algèbre arabe.
ème
Ce développement a conduit, au début du 16 siècle, à la résolution algébrique des équations de
degré 3 et 4. L'inconnue s'appelle encore la chose, son carré, le cens, son cube, le cube, mais
chaque auteur choisissait un système d'abréviations pour ces termes et pour les opérations
auxquelles ils sont soumis. On voit néanmoins apparaître des lettres pour désigner les inconnues
comme chez l'allemand Stifel ou le français Peletier.

2-2. L'algèbre, un langage universel

Un pas nouveau sur la voie du symbolisme algébrique est franchi par François Viète. Il s'agit de
la création d'un cal

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