Perles mathématiques pour un tricentenaire trois problèmes inspirés d'Euler Ces trois problèmes niveau lycée illustrent l'article publié dans le BV nov déc intitulé Euler ou l'art de chercher découvrir inventer I Le problème de Bâle Pour n entier naturel non nul soit

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Perles mathématiques pour un tricentenaire : trois problèmes inspirés d'Euler (1707 – 1783) Ces trois problèmes, niveau lycée, illustrent l'article publié dans le BV 473 (nov-déc. 2007) intitulé : « Euler, ou l'art de chercher, découvrir, inventer ». I. Le problème de Bâle. Pour n entier naturel non nul, soit 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 n S n = + + + + + et l i m n n S S ? +? = . On se propose de calculer une valeur approchée de S, puis la valeur exacte de S, en nous appuyant sur les méthodes mises en place par Euler tout en se situant dans un enseignement de classe terminale au lycée. 1. Existence de S et premiers encadrements. a) Vérifier l' identité 1 1 1 ( 1) 1k k k k = ? + + ; en déduire pour tout n l'inégalité 1 2 n S n < ? b) En déduire que S existe et proposer un premier encadrement de S par deux entiers consécutifs. c) Vérifier l'identité 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) k k k k k k k ? ? = ? + + + Soit 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ... 1 2 2 3 3 4 ( 1) n S

• méthode d'euler pour l'obtention


• points de la parabole d'abscisses respectives


• relations entre les côtés


• parabole


• euler


• solutions entières de l'équation


• côtés proportionnels aux côtés du triangle abc

Sujets

• Mathématiques
• Première
• Parabole
• lycée
• lycées

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 44
• Langue: Français

Extrait

Perles mathématiques pour un tricentenaire : trois problèmes inspirés dEuler (1707 – 1783)  Ces trois problèmes, niveau lycée, illustrent larticle publié dans le BV 473 (nov-déc. 2007) intitulé :  Euler, ou lart de chercher, découvrir, inventer ».  I. Le problème de Bâle.  1 1 11 S=1+... = . Pour n entier naturel non nul, soit n ++ + + et SlimS n 2 2 22 n!+" 2 3 4n On se propose de calculer une valeur approchée deS,puis la valeur exacte deS,en nous appuyant sur les méthodes mises en place par Euler tout en se situant dans un enseignement de classe terminale au lycée.  1. ExistencedeSet premiers encadrements. 1 11 a) Vérifierl identité =! ; endéduire pour tout n linégalité k(k+1)k k+1 1 S n <2!  n b) Endéduire queSexiste et proposer un premier encadrement deSpar deux entiers consécutifs. 1 1k!1k c) Vérifierlidentité !=!  2 22 2 (k+1)k(k+1)k(k+1) 1 1 11 S ontrer que Soit n '= 2 + 2 + 2 +...+ 2 . Dém 1!2 2!3 3!4 (n"1)!n n!1 S'=limS' existe etq S=1+S'! n ue n n 2 ; n!+" n en déduire queS= 1 +S et que 1,6 <S -3 2. Valeurapprochée à 10près. a) Pourk> 1,Vérifier la double inégalité  ! 3 " ! 1 " 2 ! 9 " ! 25 " k+k+ <(k+1)<k+k+  # $# $# $# $ % 2 & % 2 & % 16 & % 16 & 16 161 22 En déduire !< <!  2 16k+9 16k+25 (k+1) 2k+1 2k+3 1 11 b) Soit alors R= ++...+  pourN entier (N > 0) etn (n,N) 2 22 (n+1) (n+2) (n+N) entier naturel non nul. Et posons pour n fixé,R=limR n(n,N) N!+" 16 2 Déduire du 1) que<R<puis, en prenantn= 11 queS =1,644, n 16n+9 2n+1 -3 à 10près.  3. Unepropriété des polynômes. a) SoitP(x)un polynôme dont le coefficient constant vaut 1, donc

2 P(x) =1 +ax + bx , etsupposons quil sannule pour deux valeursx 1 etx 2 , 1 1 distinctes ou non.Démontrer que lon a alors la propriété: + =!a  x x 1 2 Cette propriété se généralise aux polynômesde degrén: si un quelconque polynôme de degrén ason coefficient constant égal à 1 et sannule pour n valeurs distinctes ou non, la somme des inverses de ces valeurs vaut lopposé er du coefficient du 1degré, (propriété (1)). A lépoque dEuler, les mathématiciens avaient réussi à développer les fonctions 1 usuelles sous forme de polynômes généralisésque lon appelle séries entières, tels que : 2 4 62n x x xx n cosx=1!+!+...+(!1)+... pour toutxréel 2! 4! 6!(2n)! 3 5 72n+1 x x xx n sinx=x!+!+...+(!1)+...pour toutxréel  3! 5! 7!(2n+1)! 2 4 62n sinxx xx x n =1!+!+...+(!1)+...pour toutxréel, x"0 x(23! 5! 7!n+1)! sinx b) Montrer que les valeurs qui annulentsont tous les nombres réels x k!,kentier relatif non nul. 2 Posons.u = xQuelles sont les valeurs qui annulent le polynôme Q(u), où 2 3n u uu n u Q(u)=1!+!+....(!1) ... ? 3! 5! 7!(2n+1)! 2 ! En déduire que la sommeS.vaut exactement 6       II. Relations entre les côtés dun triangle et ses médianes. Triangles automédians.  Soit ABC un triangle dont les mesures des côtés sont BC = 2a ; CA = 2b ; AB = 2c et les médianes AA= f ; BB = g ; CC = h,A, B, C étant les milieux respectifs de [BC] ; [CA] ; [AB]. A. Relationsentre côtés et médianes.

 1 Pour ceux qui voudraient connaître la méthode dEuler pour lobtention de ces développements, voir la réédition de :Euler,Introduction à lAnalyse infinitésimale,tome premier, chap. VIII, par ACL - éditions

 1)On désigne par AAD le trian (figure 1) dont les côtés mesurent AA = f; AD = g; AD = h. Démont que les médianes du triangle A 333 ont pour longueursa ;b ; 22 3 cest-à-dire lesdes longueurs 4  côtés du triangle initial ABC. figure 1   2) Démontrerles relations 2 2 22 22 22 22 22  f= 2c+ 2b– a; g= 2a+ 2c– b; h= 2a+ 2b– c 2 22 3) Démontrerque si b+ c= 2a(1) alors le triangle AAD a ses côtés proportionnels aux côtés du triangle ABC et réciproquement. La relation (1) revient à dire que les carrés des côtés sont en progression arithmétique ; on dit aussi que a est moyenne quadratique de b et c. Définition :Un triangle vérifiant la relation (1) est appelé triangle automédian.  B.Étude de quelques propriétés des triangles automédians 1) Onfixe le côté [BC]. Démontrer que si le triangle ABC est automédian, alors le sommet A décrit un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 2) Démontrerque si le triangle ABC est automédian, alors on a les relations : 2 a =2bc.cosA et2cos2A = cos2B + cos2C. (pour cette dernière, on pourra 2a 2b 2c utiliser les relations (2): 2R= = = , où R est le rayon du sinA sinB sinC cercle circonscrit) 3) On désigne par G le centrede gravité du triangle ABC et par H son orthocentre. Soit G le symétrique de G par rapport à A . Démontrer que le triangle GCG est semblable au triangle ABC, sachant que celui-ci est automédian. En déduire que G appartient au cercle circonscrit au triangle ABC, et que B , C, G et H sont cocycliques. (figure 2)

4) Démontrer que les cerclesAG etAGCsont tangents à (BC)resp enB et C. 5) Démontrer que si Si R, R a , R b , R c désignent les rayons de cercles ABC, GBC, GAC, GA alors ona : 2 2 R =R a = R b .R c  (on pourra utiliser les relations (2))    figure 2  2 2 2 C. Solutionsentières de léquation2zy +x = (1) Montrer que léquation (1), où x, y et z sont des entiers relatifs, est équivalente à léquation 2 2 2 " y+z # " y!z # (2) x= +  $ %$ % & 2 ' & 2 ' 2 22 Sachant que les solutions entières de léquation (3) u=v+w sont données par 2 22 2 u=m+n;v=m!n;w=2mn ,m etn entiers,montrer que les solutions de 2 22 22 2 (1) sont données par x=m+n;y=(m+n)!2n;z=(m!n)!2n . Proposez quelques exemples de triangles automédians à côtés entiers premiers entre eux.    III. Une application éléme A.Considérons, relativeme à un repère orthonormal r r (O, i,j ), la parabole (P) 2 x!5 déquation y= et le 4 cercle (U) déquation : 2 2 x+y=1 .  Soient A, B, C trois points de la parabole dabscisses respectivesa, b, c.

1) Démontrerque la droite (AB) est tangente au cercle (U) si et seulement si : 2 22 2 (1) a b!a!b+8ab+9=0  Exprimerben fonction deaet montrer quebest de deux manières possibles une fonction homographique dea. 2) Endéduire que si (AB) et (BC) sont toutes deux tangentes à (U) alors il en est de même de (AC). 3) Lestravaux dEuler et ce que lon appelle son théorème daddition permettent de trouver un paramétrage de la parabole (P) qui va beaucoup simplifier cette démonstration. Montrer que le point M de coordonnées (x, y) appartient à (P) 2 3 tant(5 " ! ! # si et seulement si x=x(t)=3 tant;y=y(t)=pourt) (;+  $ % 4 & 2 2 ' 4) SoientM (x, y) et N (x, y) deux points de (P) correspondants aux paramètres tett, respectivement. Démontrer que (MN) est tangente à (P) si, et seulement ! ! si t'=t+out'=t" . En déduire la propriété du 2). 3 3 2 B.On peut traiter les mêmes questions avec la parabole déquationy=x –1  Dans ce cas la relation (1) devient : 2 2 (a –1)(b –1) = 1 et cette fois-ci ce nest ème quau bout de la 4tangente que lon retourne au point de départ. Ici, la démonstration directe à partir de (1) est simple.

  Néanmoins Euler nous permetaussi dappliquer la méthode de la question 3) et 4) 1 1 " ! ! # du A, avec le paramétrage : x=;y=pourt$ %;+  & ' 2 sinttant ( 2 2 ) Alors la droite (MN), avec M correspondant au paramètretet N au paramètret, est ! ! tangente à (U) si et seulement si t'=t+out'=t" et on comprend alors quil y 2 2 ait clôture au bout de la quatrième tangente.  Jean-Pierre Friedelmeyer