Séminaire de théorie spectrale et géométrie GRENOBLE

Thierry Bouche

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première

• exposé

Séminaire de théorie spectrale et géométrie GRENOBLE 1993–1994 41?49 SUR LE NOYAU DE LA CHALEUR ASSOCIÉ AUX PUISSANCES TENSORIELLES D'UN FIBRÉ EN DROITES COMPLEXES Estimations asymptotiques et théorèmes d'annulation Thierry BOUCHE Introduction L'objet de cet exposé est de présenter aux géomètres riemanniens les techniques de théorie spectrale que j'ai été amené à utiliser pour traiter de certains problèmes en géométrie analytique. La première section présente les objets considérés, et donne la version riemannienne d'énoncés obtenus dans les [Bi ], i=1, 2, 3. En particulier, je montre qu'un équivalent uniforme comme celui du théorème 1.1 ci-dessous peut im- pliquer un résultat d'annulation sous des hypothèses autorisant un tout petit peu de négativité. Le contexte dans lequel je me place pour cet exposé est le suivant : M est une variété riemannienne compacte de dimension d , L (resp. E) un fibré vectoriel complexe hermitien C∞ de rang 1 (resp. r ) au dessus de M . On se donne une con- nexion riemannienne sur L et on note ?k la connexion induite sur E(k)= E ?L ?k . On a alors un « laplacien brut » ∆k =? ? k ?k agissant sur les sections de E(k) et l'on définit l'opérateur de Schrödinger suivant : k = 1 k∆k +V où V est un opérateur autoadjoint d'ordre 0.

• dérivées d'ordre inférieur


• boule


• annulation deh


• boule géodésique de centre x0 et de rayon rk


• ordre de grandeur des rayons rk des boules

Sujets

• Mathématiques
• Première
• Exposé
• Bouche

Informations

• Publié par: profil-mazor-2012
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

Sminaire de thorie spectrale et gomtrie GRENOBLE 1993–1994 41−49

SUR LE NOYAU DE LA CHALEUR ASSOCIÈ AUX PUISSANCES TENSORIELLES D’UN FIBRÈ EN DROITES COMPLEXES Estimations asymptotiques et thormes d’annulation

Thierry BOUCHE

Introduction

L’objet de cet expos est de prsenter aux gomtres riemanniens les techniques de thorie spectrale que j’ai t amen À utiliser pour traiter de certains problmes en gomtrie analytique. La premire section prsente les objets considrs, et donne la version riemannienne d’noncs obtenus dans les [Bi],iEn particulier, je=1, 2, 3. montre qu’un quivalent uniforme comme celui du thorme 1.1 cidessous peut im pliquer un rsultat d’annulation sous des hypothses autorisant un tout petit peu de ngativit. Le contexte dans lequel je me place pour cet expos est le suivant :Mest une varit riemannienne compacte de dimensiond,L(resp.E) un fibr vectoriel ∞ complexe hermitienCde rang 1 (resp.r) au dessus deM. On se donne une con ⊗k nexion riemannienne surLet on note ∇ k la connexion induite surE(k)=E⊗L. On ∗ a alors un « laplacien brut »Δ k = ∇ ∇ k agissant sur les sections deE(k) et l’on dfinit k 1 l’oprateur de Schrdinger suivant :  k =Δ k +VoÙVest un oprateur autoadjoint k d’ordre 0. L’intrt des gomtres complexes pour ce type d’oprateur date de l’article [De] dans lequel J.P. Demailly a montr que le laplacien antiholomorphe agissant sur les (p,q)formes À valeur dansE(k) peut tre interprt comme un laplacienk  k V p,q∗ pourvu que l’on remplaceEpar le fibr (non holomorphe en gnral)T M⊗E. Le problme spcifique qui m’occupe ici est l’tude spectrale de l’oprateur  k . La brve histoire de ce problme peut se rsumer ainsi : en 85, Demailly tablit l’asymptotique de Weyl pour cet oprateur. Simultanment, Y. Colin de Verdire publie [CdV] qui relve de proccupations voisines. Un peu plus tard, J.M. Bismut trouve un quiv alent ponctuel pour le noyau de la chaleur associ (mthodes probabilistes), que E. Getzler gnralise À diffrentes situations (mthodes analytiques). Je donne cidessous

Classification A.M.S. : 35P10  32L05