Table desmatières I Rappels sur les équations de droites II Rappels sur les courbes représentatives d'une fonction III Nombre dérivé d'une fonction et fonction dérivée IV Dérivée de fonctions usuelles V Opérations sur les fonctions dérivables VI Composée de deux fonctions VII Dérivée de la fonction composée de deux fonctions VIII Applications de la dérivation

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Fonction dérivée Table desmatières I Rappels sur les équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 II Rappels sur les courbes représentatives d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 III Nombre dérivé d'une fonction et fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 IV Dérivée de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 V Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 VI Composée de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 VII Dérivée de la fonction composée de deux fonctions .

• inclinaison de la droite


• interprétation graphique du coefficient directeur


• axe des ordonnées


• coefficient directeur


• point de coordonnées


• ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées


• coeffi- cient directeur de la tangente

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Coordonnées cartésiennes
• Pente (mathématiques)

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

Fonctiondérivée
Tabledesmatières
I Rappelssurleséquationsdedroites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
II Rappelssurlescourbesreprésentativesd’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III Nombredérivéd’unefonctionetfonctiondérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
IV Dérivéedefonctionsusuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
V Opérationssurlesfonctionsdérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
VI Composéededeuxfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
VII Dérivéedelafonctioncomposéededeuxfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
VIII Applicationsdeladérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VIII.1 Variationsd’unefonction: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VIII.2 Grandeurmarginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I Rappelssurleséquationsdedroites
³ ´!? !?
Soit O ; i ; j unrepèreorthonormal.
SoitD unedroite.
Deuxcassontpossibles:
? D estparallèleàl’axedesordonnées:touslespointsdeD ontlamêmeabscissek.
Onditalorsquel’équationdeD est: x?k
? D estsécanteàl’axedesordonnées.
Lescoordonnées(x ; y)despointdeD sontliéesparunerelationdelaforme y?ax?b.
a etb sontcaractéristiquesdeD :
* b estappelél’ordonnéeàl’originedeD.
* a estlecoefficientdirecteurdeD.
b estl’ordonnéedupointd’intersectiondeladroiteavecl’axedesordonnées.
y?ax?b
b
!?
j
!?O
i
1a?0
a mesure l’inclinaison de la droite. (Siα est l’angle que
faitladroiteparrapportàl’horizontale,ona:a?tan(α)
? Si a?0,lafonctionaffineassociéeàladroiteestcrois-
sante.
? Si a ? 0, la fonction affine associée à la droite est
constante et la droite est parallèle à l’axe des ordon- a?0
!?nées.
j
? Si a? 0, la fonction affine associée à la droite est dé- !?O
icroissante.
a?0
Plusprécisément:
Page2/11Interprétationgraphiqueducoefficientdirecteur:
B
Δy y ?yB A
a? ?
Δx x ?xB A
Δy
A
Δx
!?
j
!?O
i
Commentutiliserlecoefficientdirecteurpourtracerunedroite?
Exemple:Tracerladroited’équation y?3x?5.
Pourx?0,ona y?3?0?5??5donccettedroitepasseparlepointAdecoordonnées(0;?5).
Soncoefficientdirecteuresta?3.
Δy
Nousavonsvuquelecoefficientdirecteurpouvaits’écrire .
Δx
Δy
Parconséquent:a? doncΔy?a?Δx.
Δx
3
Ici:a?3?
1
Sil’onchoisitdeprendreΔx?1,alorsΔy?3.Parconséquent,enpartantdeA,l’onsedéplacede1unitéen
abscissesetde3unitésenordonnées.
6!?
j
!?O
i
2
3
A
1
Δy
Sia estlecoefficientdirecteur,ona:a? doncΔy?a?Δx;enchoisissantunevaleurpourΔx,oncalcule
Δx
lavaleurcorrespondantepourΔy.
Si, au lieu de prendreΔx?1, on avait prisΔy?2, on aurait trouvéΔy?3?2?6; en partant de n’importe
Page3/11
bbbquelpointdeladroite(Aouunautre),sil’onsedéplacede2unitésparallèlementàl’axedesabscisses,onse
déplacedanslemêmetempsde6unitésparallèlementàl’axedesordonnées.
II Rappelssurlescourbesreprésentativesd’unefonction
Si f estunefonctiondéfiniesurunensembleD,lacourbereprésentativeC de f estl’ensembledespointsf¡ ¢
decoordonnées x ; f(x) .
(x ; f(x)) f(x)
Cf
!?
j
!?x O
i
III Nombredérivéd’unefonctionetfonctiondérivée
Définition
Soit f unefonctiondéfiniesurD.
0SiC admetunetangenteaupointdeC d’abscissea,onnotef (a),nombredérivédefen a,lecoeffi-f f
cientdirecteurdelatangenteàC encepoint.f
Page4/11
bExemple:Activité2page120
2Soitlacourbereprésentativede f définiepar f(x)?x
T 91
8
7
T6 4
T 52
T4 3
3
2
1!?
j
!?O?4 ?3 ?2 ?1 1 2 3i?1
?2
?3
0 0 0 0 01. Ontrouvegraphiquement f (?3)??6, f (?1)??2, f (0)?0, f (1)?2et f (2)?4.
3?90Eneffet,T passeparlespointsdecoordonnées(?3; 9)et(?2; 3),donc f (?3)? ??6.1
?2?(?3)
1?30T passeparlespontsdecoordonnées(?2; 3)et(?1; 1)donc f (?1)? ??2.2
?1?(?2)
0(xx )auncoefficientdirecteurnul.
3?10T passeparlespointsdecoordonnées(1; 1)et(2; 3)donc f (1)? ?2.3
2?1
0?4 ?40T passeparlespointsdecoordonnées(2; 4)et(1; 0)donc f (2)? ? ?4.4
1?2 ?1
02. Pourx réel,onpeutconjecturerque f (x )?2x .A A A
2 03. La fonction f définie surR par f(x)?x est dérivablesurR.La fonction f ,qui à toutréel x associe le
0nombredérivéde f enx estdéfinisurRpar f (x)?2x
IV Dérivéedefonctionsusuelles
Définition
Siunefonction f définiesurunintervalleI admetentoutpointdeI unnombredérivé(doncsilacourbe
C admetunetangenteencepoint),onditque f estdérivablesurI.f
0La fonction qui, à tout réel x, associe le nombre dérivé f (x), est appelé e fonction dérivée de f ; on la
0note f .
Voiciletableaudesfonctionsdérivéesdesfonctionsusuelles(àsavoirparcœur).
Page5/11
bbbbb0f(x)? f (x)?
k, k2R 0
x 1
2x 2x
3 2x 3x
n n?1x (n2Nn?1) nx
1 1
(x6?0) ?
2x x
1 n
(n2Nn?1, x6?0) ?
n n?1x x
p 1
x (x?0) p
2 x
Exemples:
5 n 0 n?1 41. f(x)?x ; f(x)?x avecn?5; f (x)?nx ?5x
6 n 0 n?1 52. f(x)?x ; f(x)?x avecn?6donc f (x)?nx ?6x
1
3. f(x)? .2x
1 1 n 20f(x)? ? avecn?2donc f (x)?? ??
2 n n?1 3x x x x
1 1 n 704. f(x)? ? avecn?7; f (x)?? ??
7 n n?1 8x x x x
V Opérationssurlesfonctionsdérivables
Soientu etv deuxfonctionsdérivablessurunintervalleI etk uneconstante.
Alors,onalesformulessuivantes:
0 0 0Addition: (u?v) ?u ?v
0 0 0Soustraction: (u?v) ?u ?v
0 0Multiplicationparuneconstante: (ku) ?ku
0 0 0Produitdedeuxfonctions: (uv) ?uv?uv
µ ¶0 01 u
Inversed’unefonction: ?? (v(x)6?0 surI)
2u u
³ ´ 0 00u uv?uv
Quotientdedeuxfonctions: ? (v(x)6?0 surI)
2v v
Exemples:
2 2 0 0 0 0 01. f(x)?3x ; on peut voir cela comme f(x)?kg avec k?3 et g(x)?x ; f ?(kg) ?kg donc f ?3g
0 0avecg (x)?2x d’où f (x)?3?2x?6x .
7 0 6 6 0 62. f(x)?5x ;onademême: f (x)?5?7x ?35x . f (x)?35x
5 2 5 2 0 0 0 0 0 43. f(x)? x ?x ; f ? u?v avec u(x)? x et v(x)? x donc f ? (u?v) ? u ?v avec u (x)? 5x et
0 0 4v (x)?2x.Parconséquent: f (x)?5x ?2x .
Page6/11p p
4. f(x)?(2x?3) x;onpeutvoir f comme: f ?uv avecu(x)?2x?3etv(x)? x.
10 0 0 0 0 0f ?(uv) ?u v?uv avecu (x)?2etv (x)? p .
2 x
Parconséquent: p p
p 1 p 2x?3 2 x?2 x?(2x?3) 6x?30 0 0f (x)?u (x)v(x)?u(x)v (x)?2 x?(2x?3)? ?2 x? ? ? ?p p p p
2 x 2 x 2 x 2 x
3(2x?1)
p
2 x
µ ¶0 01 1 1 u2 0 05. f(x)? . f ? avecu(x)?x ?x?1d’où f ? ?? avecu (x)?2x?1.
2 2x ?x?1 u u u
2x?10Parconséquent: f (x)??
2 2(x ?x?1)
u3x?2
6. f(x)? ; f ? avecu(x)?3x?2etv(x)?2x?1.
2x?1 v³ ´ 0 00u u v?uv0 0 0f ? ? avecu (x)?3etv (x)?2.
2v v
3(2x?1)?2(3x?2) ?1 ?10 0Alors: f (x)? ? ; f (x)?
2 2 2(2x?1) (2x?1) (2x?1)
VI Composéededeuxfonctions
Définition
Soientg etg deuxfonctions.
Onappellecomposéede f suiviedeg,notée f ?g,lafonctiondéfiniepar: f ?g(x)? f(g(x)).
g ff ?g :x g(x) f(g(x)).7?! 7?!
Exemples:
2Exemple1: f(x)?x ;g(x)?x?3
f ?g(x)? f(g(x))? f(x?3)? f(y)enposant y?x?3
2 2 2f(y)?y ?(x?3) donc f ?g(x)?(x?3) .
1
Exemple2: f(x)? ;g(x)?3x.
2x ?1
f ?g(x)? f(g(x))? f(3x)? f(y)avec y?3x.
1 1 1 1
f(y))? ? ? donc f ?g(x)? .
2 2 2 2y ?1 (3x) ?1 9x ?1 9x ?1
Exemple3: Aveclesmêmesfonctionsquedansl’exemple2:µ ¶
1 1
g?f(x)?g(f(x))?g ?g(z)enposantz? .
2 2x ?1 x ?1
1 1 2Or,g(z)?3z doncenremplaçantz par ,ontrouve:g?f(x)?3? ? 3 x ?1.2 2x ?1 x ?1
Remarque:surcesdeuxderniersexemples,onremarqueque f ?g(x)6?g?f(x).
Parconséquent: f ?g6?g?f (engénéral).
L’ordredecompositiondedeuxfonctionsestdoncimportant.
5Exemple4: Ondonneu(x)?(2x?3) .Trouverdeuxfonctions f etg tellesqueu? f ?g.
Pourcela,onsedemandecommentoncalculeraitu(x)detêteouavecunecalculatrice.
3Enpartantdex,oncommenceparcalculer2x?3puis(2x?3) .
g 3fSchématiquement:x 2x?3 (2x?3) .7! 7!
3Parconséquent:u? f ?g avec f(x)?x etg(x)?2x?3.
Page7/11p
2Exemple5: u(x)? x ?x?1.Cherchons f etg tellequeu? f ?g.p p2 2g f 2u:x x ?x?1 x ?x?1doncu? f ?g avec f(x)? x etg(x)?x ?x?1.7! 7!
VII Dérivéedelafonctioncomposéededeuxfonctions
Propriété
Soient f etg deuxfonctionsdérivables.Ladérivéedelafonctioncomposée f ?g est:¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢0 00 0 0 0f ?g ?g ? f ?g donc f ?g (x)?g (x)?f (g(x))pourtoutx.
Exemples:
¡ ¢32 2 31. Soitu(x)? x ?5x?6 .u? f ?g avecg(x)?x ?5x?6et f(x)?x .
0 0 0 0 0 2Alors:u (x)?g (x)?f (g(x))avecg (x)?2x?5et f (x)?3x .
¡ ¢20 2Alors: u (x)?(2x?5)?3 x ?5x?6 .
p
22. u(x)? x ?x?1. p2u? f ?g avecg(x)?x ?x?1et f(x)