UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN D'OCTOBRE 2009 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 1h30 Analyse 1 - Semestre d'automne Responsable : G. Eguether Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Trouver un équivalent simple de la suite (un)n≥1 définie par un = √ n +√n? √ n + 3√n ln(n +√n) . Exercice 2 Soit la suite (un)n≥1 de nombres réels strictement positifs définie par la donnée de u1 > 0, et, pour tout n ≥ 1, la relation un+1 = nun nun + 1 . a) Montrer que la suite (un)n≥1 est majorée. b) Pour n ≥ 2, étudier le signe de n?(n+1)un+1, et en déduire que la suite (un)n≥1 est monotone à partir d'un rang n0 que l'on précisera. c) Montrer que la suite (un) converge vers une limite ? non nulle, calculer cette limite et trouver un équivalent simple de ?? un. Exercice 3 Soit trois fonctions f , g, h définies sur [ a, +∞ [ telles que, les fonctions f et h soient équiva- lentes au voisinage de +∞ et telles que pour tout x de [ a, +∞ [ , on ait 0 < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

• théorèmes sur les limites de sommes et de quotients


• n? √


• théorème d'encadrement


• semestre d'automne responsable


• signe de n?

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Théorème des gendarmes

Informations

• Publié par: davaj
• Date de parution: 01 octobre 2009
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

EXAMEN D’OCTOBRE 2009

Licence LCMA  1ère année Analyse 1  Semestre d’automne Calculatrices non autorisées

Durée du sujet : 1h30 Responsable : G. Eguether Documents non autorisés

Exercice 1 Trouver un équivalent simple de la suite(u n ) n≥1 définie par 3 n+n−n+n u n =. ln(n+n)

Exercice 2 Soit la suite(u n ) n≥1 de nombres réels strictement positifs définie par la donnée deu 1 >0, et, pour toutn≥1, la relation nu n u n+1 =. nu n + 1 a) Montrer que la suite(u n ) n≥1 est majorée.

b) Pourn≥2, étudier le signe den−(n+1)u n+1 , et en déduire que la suite(u n ) n≥1 est monotone à partir d’un rangn 0 que l’on précisera.

c) Montrer que la suite(u n )converge vers une limiteℓnon nulle, calculer cette limite et trouver un équivalent simple deℓ−u n . Exercice 3 Soit trois fonctionsf,g,hdéfinies sur[a,+∞[telles que, les fonctionsfethsoient équiva lentes au voisinage de+∞et telles que pour toutxde[a,+∞[, on ait0< f(x)≤g(x)≤h(x). Montrer que les fonctionsfetgsont équivalentes au voisinage de+∞.

Application : montrer qu’au voisinage de+∞, on aE(x)∼x, oùE(x)désigne la partie entière dex.

Exercice 4 n+1 1 (−1) Soit la suite(u n ) n≥1 définie paru n = 1−+∙ ∙ ∙+. 2n a) Montrer que les suites(u 2n ) n≥1 et(u 2n+1 ) n≥0 sont adjacentes. b) Montrer que la suite(u n )converge et que sa limiteℓvérifie 1 |u n −ℓ| ≤. n+ 1