Correction du devoir no I

Description

Correction du devoir no 2 I Si > 0, par définition de la convergence vers , il existe p tel que, pour tout n Ê p, 2 0, on a 0< 2

• côtés de pn


• sin?n cos?n


• limite commune


• triangles d'angle au centre ?n

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• Publié par: Ecole-pour-tous
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• Langue: Français

Extrait

o Correction du devoir n2 I ℓ3ℓ Siℓ>0, par définition de la convergence versℓ, il existeptel que, pour toutnÊp,<u n <. 2 2 ℓ3ℓ Commeℓ>0, on a 0< <u n <pournÊp, doncu n 6=0. 2 2 3ℓ ℓ Siℓ<0, de même, il existeptel que, pour toutnÊp,− <u n < <0, doncu n 6=0. 2 2 II AntillesGuyane2004  1   a n+1 =(2a n +b n ) 3 On définit les suites (a n ) et (b n ) para 0 =1,b 0 =7 et 1   b n+1 = ( a n +2b n ) 3 11 13 1. Oncalculea 1 =3,b 1 =5,a 2 =,b 2 =. 3 3 −→ A A B B O ı A 0 12 2 1 (D) I B 0 0 1 2 3 4 5 6 2. Soit ( u n ) la suite définie paru n =b n −a n . 1 1 1 1 On au n+1 =b n+1 −a n+1 = ( a n +2b n ) −(2a n +b n ) = ( −a n +b n ) =u n pour toutn∈N. La suite (u n ) est donc une suite 3 33 3 1 géométrique de raisonet de premier termeu 0 =b 0 −a 0 =7−1=6. 3 µ ¶µ ¶ nn−1 11 n On sait queu n =u 0 ×rsoit iciu n =6× =2×. 33 3. Produitde deux facteurs supérieurs à zéro,u n est supérieur à zéro. Oru n >0⇐⇒b n −a n >0⇐⇒b n >a n . Variations de a n : 1 11 Quel que soitn,a n+1 −a n =(2a n +b n ) −a n = ( −a n +b n ) =u n >0, d’après cidessus. 3 33 On a donca n+1 −a n >0⇐⇒a n+1 >a n . La suite (a n ) est donccroissante. Variations de b n : 1 11 On a de même quel que soitn,b n+1 −b n = ( a n +2b n ) −b n = − ( b n −a n ) = −u n <0. 3 33 On a doncb n+1 −b n <0⇐⇒b n+1 <b n . La suite (b n ) est doncdécroissante. Géométriquement : les points A n se placent de gauche à droite, et les points B n de droite à gauche, les premiers étant toujours à gauche des seconds. 4. Lessuites (a n ) et (b n ) sont adjacentes : 1 1 L’une est croissante, l’autre décroissante et la différenceb n −a n =u n =2×. Orlim=0, donclimb n −a n =0. n−1n−1 n→+∞n→+∞ 3 3 5. Soit ( v n ) la suite définie parv n =a n +b n pour toutn∈N. 1 1 1 u n+1 =a n+1 +b n+1 = ( a n +2b n ) +(2a n +b n ) =(3a n +3b n ) =a n +b n =u n . 3 3 3 La suite (v n ) est donc une suiteconstante. En particulieru n =u 0 =a 0 +b 0 =1+7=8. 8 En conséquence l’abscisse du milieu du segment [A n B n ] est=4. 2 Tous les segments [A n B n ] ont donc le même milieu d’abscisse 4, c’estàdire I. 6. Onpeut conclure de ce qui précède que les suites sontconvergentesde limite communeℓ. Par conséquent la suitev n est convergente de limiteℓ+ℓ=2ℓ=8, d’après la question 5. Conclusion:les suites (a n ) et (b n ) sont convergentes de limiteℓ=4. Interprétation géométrique : les points A n (par la gauche) et B n (par la droite) se rapprochent du point I. ( 2 u n = −a n +b n = n−1 On peut également déduire du systèmeque : 3 v n =a n +b n =8  1   a n =4− n−1 3 1   b n =4+ n−1 3

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Les résultats précédents en découlent : on constate de plus que les points se rapprochent d’une distance à chaque fois trois plus petite que la précédente du point I.

III  1   u n+1 = ( u n +2v n ) 3 On au 0 =1,v 0 =12 et, pour toutn, . 1   v n+1 = ( u n +3v n ) 4 1. Soitwla suite définie parw n =v n −u n . 1 11 1 11 (a) Pourtoutn∈N,w n+1 =v n+1 −u n+1 = ( u n +3v n ) − ( u n +2v n ) = −u n +v n = ( v n −u n ) =w n . 4 312 12 1212 1 Par conséquent, la suite (w n ) estgéométrique, de raisonq=. 12 µ ¶ n 1 n Alors, pour toutn,w n =w 0 q=11×te sont, qui est bien un nombre positif, donc tous les termes de la sui 12 positifs. n (b) Comme−1<q<1, limq=0 donc la suitewtend vers 0 à l’infini. n→+∞ 1 23 2 2. (a)∀n∈N,u n+1 −u n = ( u n +2v n ) −u n = −u n +v n =w n >0 car, pour toutn,w n >0. 3 33 3 Pour toutn,u n+1 −u n >0, donc la suite (u n ) estcroissante. 1 11 1 (b) Demême, pour toutn∈N,v n+1 −v n = ( u n +3v n ) −v n =u n −v n = −w n <0 donc la suite (v n ) estdécroisante. 4 44 4 (c) Pourtoutn,w n >0, doncv n −u n >0, doncu n <v n . Comme (u n ) est croissante,u 0 Éu n et de même, comme (v n ) est décroissante,v n Év 0 . On en déduit que, pour toutn:u 0 Éu n Év n Év 0 . 3. (u n ) est minorée, (v n ) est majorée et la différence de deux termes de même rang tend vers 0 : ces deux suites sontadjacentes. On en déduit qu’elles sontconvergentesvers une même limiteℓ. 4. Soittla suite définie par :t n =3u n +8v n .

1 1 (a) Pourtoutn:t n+1 =3u n+1 +8v n+1 =3× ( u n +2v n ) +8× ( u n +3v n ) =3u n +8v n =t n , donc la suitetest constante. 3 4 On en déduit que, pour toutn∈N,t n =t 0 =3u 0 +8v 0 =99 (b) D’unepart, (u n ) et (v n ) convergent versℓ, donc on a :limt n =3ℓ+8ℓ=11ℓ. n→+∞ D’autre part,limt n =99 (suite constante). n→+∞ Parunicité de la limite, on en déduit que 9ℓ=99, doncℓ=9.

IV 1. Pourn=1, on a deux hexagones réguliers, l’un inscrit, l’autre exinscrit, qu’on peut partager en six triangles équilatéraux. Notonsa 1 la longueur de chaque côté de l’hexagone inscritP 1 etb 1 la longueur de chaque côté de l’hexagone exinscritQ 1 . ³ ´ 6×1π1π a 1 =1, doncp 1 = =3 ;b 1 =2×1 tand’oùq 1 =12 tan=.2 3 2 62 6 n 2. (a)Puisque les polygonesP n etQ n ont 3×l’angle au centre qui intercepte l’un des côtés de2 côtés,P n ouQ n vaut 2π α n = n 3×2 (b) Représentonsl’un des triangles d’angle au centreα n .

a n

b n

α n α n 2 Posonsa n la longueur d’un côté du polygone inscritP n etb n la longueur d’un côté du polygone exinscritQ n . Dans ce triangle isocèle, on trace la médiane issue de 0 qui est aussi une hauteur et une bissectrice.

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³ ´³ ´ π π On a :a n =2 sinetb n =2 tan n n 3×2 3×2 ³ ´³ ´ 1 1ππ n nn p n = ×(3×2 )×a n = ×(3×2 )×2 sin=3×2 sin nn 2 23×23×2 ³ ´ π De même,q n =tan n 3×2 2 (c) Ona :sin(2α)=2 sinαcosαet1+cos(2α)=2 cosα π π (d) Onremarque qu’en posantα n =, on a :=2α n . n+1n 3×2 3×2 µ ¶µ ¶ 1 11 11 1 Alors :+ =+ = n n 2p n q n 2 3×2 sin(2α n ) 3×2 tan(2α n ) µ ¶µ ¶µ ¶ 1 11 11 cos(2α n 1) 1+cos(2α n ) + =+ = n+1n+1n+1 3×2 sin(2α n ) tan(2α n ) 3×2 sin(2α n ) sin(2α n ) 3×2 sin(2α n ) µ ¶ 2 1 2cosα n 1 cosα n 1 11 = == == n+1n+1n+1n+1 3×sin2 2α n cosα n 3×2 sinα n 3×2 tanα n 3×2 tan(2α n+1 )q n+1 ¡ ¢ 2 2 sin(2α n+1 ) n n+1n n22 2 p n q n+1 =3×2 sin(2α n )×3×2 tan(2α n+1 )=3×2×2 sinα n cosα n ×2=(3×2 )×2×sinα n = cos(2α n+1 ) n+1 2n+21 2 (3×2 sinα n )=(3×2 sin(2α n+1 ))=pdoncp n+1 =p n q n+1 n+1 s p p 1 q 1 3×2 3 p 36 33 On en déduit :q 2 =2=2 p etp 2 =p 1 q 2 = =6 p p+q 1 1 3+2 33+2 33+2 3 3. (a)Soientaetbtels que : 0<a<b. p p On en déduit : 0<a<bet en multipliant para: 0<a<a b=abet en multipliant parb: 0<ab<b. Finalement :a<ab<b. 2 2 2ab2ab−b(a+b) 2ab−a−ab ab−a a(b−a) −a>= == =0 puisquea>0,b>0 eta<b, doncb−a>0. On a+b a+b a+b a+b a+b 2ab2ab montre de même que<b. Par conséquent :a< <b. a+b a+b (b) Soitl’hypothèse de récurrence (H n ) :p n <q n . •On a bienp 1 <q 1 donc (H 1 ) est vraie. µ ¶ 1 11 12p n q n •On suppose que (H n ) est vraie. On a := +d’oùq n+1 =. q n+1 2p n q n p n +q n D’après (H n ), on a : 0<p n <q n , d’où d’après (i) :p n <q n+1 <q n . p pp D’autre part :p n+1 =p n q n+1 >p n p n =p n (carq n+1 >p n ). De même :p n+1 =p n q n+1 <q n+1 q n+1 =q n+1 . On en déduit : 0<p n <p n+1 <q n+1 <q n donc (H n+1 ) est vraie et la propriété est démontrée pour toutn. (c) L’inégalitécidessus montre que la suite (p n ) est croissante et que la suite (q n ) est décroissante. 2 2p q p q−p n n n n n p n (q n −p n ) (d) Pourtoutn:q n+1 −p n+1 ≤q n+1 −p n = −p n = =. Or :p n <q n ⇒p n +q n >2p n ⇒ p n +q n p n +q n p n +q n 1 1p n 1 < ⇒<. p n +q n 2p n p n +q n 2 1 Par conséquent :q n+1 −p n+1 ≤(q n −p n ). 2 1 On montrerait par récurrence que, pour toutn≥1,q n −p n ≤. n 2 1 On en déduit quelim (q n −p n )=tend vers 0 lorsque0 d’après le théorème des gendarmes, puisquentend vers n n→+∞ 2 +∞. Les deux suitesp n ) et (q n ) sont respectivement croissante et décroissante et leur différence tend vers 0, donc elles sont adjacentes et par conséquent, ont la même limite. ³ ´ π n n (e) Ona :p n =3×2 sin. lim(3×2 )= +∞s :. On en déduit, d’après le théorème de composition des limite n n→+∞ 3×2 ³ ´³ ´ π π1 1 n lim (3×sin2 )=limxsin=limπ π =limπ=π n siny n→+∞x→+∞x→+∞ sin( ) y→+∞ 3×2x x π y x Les suites tendent donc versπ. −10 (f )Avec une calculatrice, on trouvep 18 ≈3, 141592654etq 18 ≈et3, 141592654q 18 −p 18 <10 . Remarque: il existe des méthodes beaucoup plus performantes pour trouver des approximations deπ.

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