Applications lineaires compactes

Description

Chapitre 5 Operateurs compacts 5.1 Applications lineaires compactes Definition 5.1.1 Soient E et F deux espaces de Banach ; une application lineaire continue T ? L(E,F ) est dite compacte si l'image T (BE) par l'application T de la boule unite fermee BE de l'espace E est relativement compacte (en norme) dans F . On note K(E,F ) l'ensemble des applications lineaires compactes de E dans F . On pose K(E) = K(E,E). La proposition suivante donne des proprietes fondamentales de stabilite des operateurs compacts. Proposition 5.1.1 Soient E et F deux espaces de Banach ; l'ensemble K(E,F ) est un sous-espace vectoriel ferme de L(E,F ). Soient E,F et G des espaces de Banach, S ? L(E,F ) et T ? L(F,G) ; si S ou T est compacte alors TS est compacte. En particulier, K(E) est un ideal bilatere de L(E). Preuve : Il est clair que si T ? K(E,F ) et ? ? K, alors ?T ? K(E,F ). Soient maintenant T1 et T2 deux applications lineaires compactes de E dans F , et considerons les ensembles A1 = T1(BE), A2 = T2(BE) et A = (T1 + T2)(BE) ; il est clair que A est contenu dans A1 + A2, donc il est relativement com- pact d'

• operateurs compacts


• espace de banach


• donne des proprietes fondamentales de stabilite des operateurs compacts


• theoreme


• lineaire continue de rang fini


• projecteur continu


• base duale pour le dual l?


• applica- tion lineaire

Sujets

• Espace de Banach
• Théorème
• maths

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Extrait

Chapitre

5

Op´rateurs

5.1

compacts

Applications lin´aires compactes

D´finition 5.1.1SoientEetFdeux espaces de Banach; une application lin´aire
continueT∈ L(E, F)est ditecompactesi l’imageT(BE)par l’applicationTde
la boule unit´ ferm´eBEde l’espaceEestrelativement compacte(en norme)
dansF. On noteK(E, F)l’ensemble des applications lin´aires compactes deE
dansF. On poseK(E) =K(E, E).

La proposition suivante donne des propri´t´s fondamentales de stabilit´ des op´rateurs
compacts.

Proposition 5.1.1SoientEetFdeux espaces de Banach; l’ensembleK(E, F)
est un sous-espace vectoriel ferm´ deL(E, F). SoientE, FetGdes espaces de
Banach,S∈ L(E, F)etT∈ L(F, G); siSouTest compacte alorsT Sest
compacte. En particulier,K(E)est un id´al bilat`re deL(E).

Preuve :Il est clair que siT∈ K(E, F) etλ∈K, alorsλT∈ K(E, F).
Soient maintenantT1etT2deux applications lin´aires compactes deEdansF,
et consid´rons les ensemblesA1=T1(BE), A2=T2(BE) etA= (T1+T2)(BE) ;
il est clair que A est contenu dansA1+A2, donc il est relativement
compact d’apr`s une proposition des pr´requis sur le compacts. Ceci montre que
K(E, F) est un sous-espace vectoriel deL(E, F). Supposons queT∈ L(E, F)

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