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Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans ∗ Exercice 1 Prolonger par continuité la fonction f(x, y) = cosx− cos yx− y sur la diagonale d'équation y = x. Exercice 2 Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel euclidien orienté R3. Etudier la différentiabilité de l'application Φ : R3 → R3; ~x → Φ(~x) = ~x ∧ f(~x).

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• Serge Serfati
• Liouville
• Laplace
• Vectoriel
• Espace
• Équation
• Tangente
• Directeur
• Système de coordonnées
• Application
• Coefficient

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Extrait

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

∗ Denis Vekemans

Exercice 1Prolonger par continuité la fonction cosx−cosy f(x, y) = x−y sur la diagonale d’équationy=x.

3 Exercice 2Soitfun endomorphisme de l’espace vectoriel euclidien orientéR. Etudier la différentiabilité de l’application 3 3 Φ :R→R;x~→Φ(x~) =x~∧f(x~). v n n X u X t n 2 Exercice 3A toutxdeR,x= (x 1 , . . . , x n ), on associeN 1 (x) =|x i |etN 2 (x) =x. i i=1i=1 n En quels point deRles applicationsN 1 etN 2 sontelles différentiables? On explicitera la différentielle lorsqu’elle existe.

2 Exercice 4Soitf:R→Rdéfinie par ( 2 f(x, y) =xsi|x|<|y|, 2 f(x, y) =ysi|x| ≥ |y|. 2 Etudier la continuité et la différentiabilité defdansR.

2 Exercice 5Soitf:R→Rdéfinie par   f(0,0) = 0 2 2 1  f(x, y) = (x+y) sin( √ )si(x, y)6= (0,0). 2 2 x+y 1 2 Etudier la continuité et la différentiabilité defen(0,0).festelle de classeCdansR?

+∗2 Exercice 6Déterminer toutes les fonctionsf:R→R, de classeC, telles que si l’on poseu(x, y, z) = p 2 2 2 f(x+y+z), alors on ait 2 2 2 ∂ u∂ u∂ u + + +u= 0. 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∗ Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France

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PLC1

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

+∗ Exercice 7Résoudre surR×Rl’équation aux dérivées partielles ∂z ∂z x−y=kz ∂y ∂x en utilisant les coordonnées polaires.

2006

3 Exercice 8Soit(a, b, c)∈R. On considère l’équation aux dérivées partielles 2 2 2 ∂ z∂ z∂ z (E) :a+b+c= 0 2 2 ∂x ∂x∂y∂y 2 2 oùzest une fonction inconnue de classeCdeRdansR. 1. Oneffectue le changement de variablesH ( u(x, y) =x+αy v(x, y) =x+βy. 2 (α, β)∈R, maisα6=β. ′ Ecrire l’équation(E)transformée de(E)parH. 2′ 2. Onsupposeb−4ac >0. Montrer qu’on peut intégrer complètement(E)puis(E). 2′′ 3. Onsupposeb−4ac <0. Montrer que(E)est équivalente à(E) : Δg= 0(équation de Laplace), pour une certaine fonctiong. 2′ 4. Onsupposeb−4ac= 0. Montrer qu’on peut intégrer complètement(E)puis(E).

3 3 Exercice 9SoitΦdeRdansRdéfinie par  2  u(x, y, z) =x+y  2 v(x, y, z) =y+z   2 w(x, y, z) =z+x .

2 ∂x ∂x 2 Ceci définit localement et implicitementx, y, zcomme fonctions de classeCdeu, v, w. Calculer, , 2 ∂u ∂u 2 ∂ x . ∂u∂v

2 Exercice 10Soitf:R→Rdéfinie par ( f(0,0) = 0 2 2 4xy(x−y f(x, y) = 2 2 )si(x, y)6= (0,0). x+y 2 22 Montrer quefest de classeCdansR\{(0,0)}, mais non dansR.

Exercice 11Soientx,yetzles dimensions d’un parallélipipède rectangle (pavé droit).

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Mathématiques

PLC1

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

2006

A volumeVfixé, quelles sont les dimensionsx,yetzqui minimisent la surface latérale de ce paralléli pipède rectangle?

Exercice 12Etudier les extrema de 2 22 f:R→R;x→f(x, y) =x[(lnx) +y].

Exercice 13Trouver le coefficient directeur de la tangente au point de coordonnées(x, y) 2 2 x y – del’ellipse d’équation cartésienne 2 + 2 = 1; a b 3 3 – dufolium de Descartes d’équation cartésiennex+y= 3xy.

x−y Exercice 14Montrer que la relatione+= 1x+ydéfinit implicitement une fonctionΦ :x→Φ(x) =y au voisinage de(0,0). Φ(x) Calculerlim. 2 x x→0 ~ Exercice 15On considère un champ vectoriel du planVdonné par 2 ~ ~ ~ V(x, y, z) = (x y)i+xyj. ֒→ 2 ~ γ 1. Calculerla circulation deVdele long de l’arc orientéO(0,0)versA(1,1)d’équationy=x. ֒→ ~ 2. Calculerla circulation deVle long de l’arc orienté C deO(0,0)versA(1,1)constitué des segments ֒→֒→ orientés[OI]et[IA]avecI(1,0). 3. Cechamp dérivetil d’un potentiel scalaireφ?

~ Exercice 16On considère un champ vectoriel de l’espaceVdonné par 2 33 2 ~ ~ ~ ~ V(x, y, z) = (3x y+y)i+ (x+ 3xy)j+ 6zk. ∂U 2 3 ∂U 3 2 ∂U 1. Vérifieren la calculant qu’il existe une fonctionUtelle que= 3x y+y,=x+3xyet= 6z. ∂x ∂y∂z ~ 2. Endéduire que le champ vectorielVdérive d’un potentiel scalaireφ. Calculerφde sorte que le potentiel soit nul à l’origine. ~ 3. Calculerla circulation deVentre les pointsA(1,0,−1)etB(2,−1,3).

1 ~ Exercice 17Déterminer une fonction numériqueΦ∈ C(R), telle que le champ vectorielVdonné par 2 ~ ~ ~ ~ V(x, y, z) = (1 +x)Φ(x)i+ 2xyΦ(x)j−3zk ~ dérive d’un potentiel vecteurΩque l’on déterminera.

Exercice 18On considère la forme différentielle 2 x−y x+ 1 ω=dx+dy. 2 x x

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Mathématiques

PLC1

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

1. Vérifieren la calculant qu’il existe une fonctionUtelle queω=dU. 2. Endéduire queωest une forme différentielle exacte.

2006

y10 y/x′y/x +∗ Exercice 19On considère l’équation différentielle(E) : (2 + 10e) +y(1−e) = 0oùx∈R. 2 x x 1. Intégrer(E)en utilisant la forme différentielle associée. 2. Représentergraphiquement l’unique solution de(E)vérifianty(5) = 0

Exercice 20On considère la forme différentielle −y x ω=dx+dx. 2 22 2 x+y x+y 1. Dansquel domaine cette forme différentielle estelle définie? R ֒→ γ 2. Calculer l’intégrale curviligneI= ֒→ ωle cercle trigonométrique parcouru dans le sensoù est γ trigonométrique. 3.ωdérivetelle d’un potentiel scalaire dans le plan privé de l’origineO? 4. "Touteforme exacte est fermée". La réciproque de cette propriété estelle vraie?

Références [1] M.Serfati,Exercices de mathématiques. 3. Analyse II, Belin, Collection DIA, 1987. [2] D.Duverney, S. Heumez, G. Huvent,Toutes les mathématiques. Cours. Exercices corrigés. MPSI, PCSI, PTSI, TSI., Ellipses, 2004.

1 20 0.5 0 5 4 10 -0.5 2 -1 0 0 -5 -4 -2 -2 0 0 -5 2 -4 5 4

Fig.1 – Exercice 1

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Exercice 4

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PLC1

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

6 20 4 4 0 4 2 2 -20 2 0 0 0 -4 -4 -2 -2 -2 -2 0 0 2 2 -4 -4 4 4

Fig.2 – Exercice 5

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Exercice 10

1 5 6 7 8 9 0.75 1 0.5 0.5 0.25 0 -5 0 0.25 0.5 -0.5 -10 0.75 1 -1

Fig.3 – Exercice 12

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Exercice 19

2006

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