COMPTE RENDU D'ACTIVITES

Description

COMPTE-RENDU D'ACTIVITES 1. Recherche Une large majorite de mes travaux s'articulent autour de la theorie des trajectoires rugueuses (rough paths) initiee par T. Lyons a la fin des annees 90 ([14]). Il s'agit d'une nouvelle approche trajectorielle du calcul stochastique, qui permet une generalisation de la theorie d'Ito a des non-martingales et offre egalement des controles tres fins quant a la regularite des diffusions. La theorie a ete originellement developpee en vue de l'analyse des systemes differentiels stochastiques standards dyt = ?(yt) dxt , y0 = a ? Rm, ou x est un processus stochastique multidimensionnel irregulier en temps (p.s.) et ? un champ de vecteurs plusieurs fois differentiable. Le traitement theorique de cette equation via l'approche rough paths a donne lieu ces dernieres annees a une riche litterature et atteint desormais un niveau de maturite tres eleve, comme l'a recemment rapporte l'ouvrage exhaustif de P. Friz et N. Victoir ([12]). Le nouveau defi de la theorie des trajectoires rugueuses consiste a present a transposer les grands principes de la methode dans des contextes de systemes differentiels moins standards, fini et infini-dimensionnels. C'est dans le cadre de cet objectif tres general que s'inscrivent mes travaux de recherche sur les rough paths. De fac¸on plus precise, j'ai eu l'occasion d'aborder deux grandes classes d'equation: les systemes de Volterra (fini-dimensionnels) et les equations paraboliques.

• classiques des semigroupes analytiques


• equations


• modele des chaos de wiener classiques


• rough volterra


• question de la regularite des solutions


• equation

Sujets

• Redaction
• Équation
• multiplication
• maths
• cours
• cours de

Informations

• Publié par: pefav
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

COMPTE-RENDU

´ D’ACTIVITES

1.Recherche Unelargemajorit´edemestravauxs’articulentautourdelath´eoriedestrajectoires rugueuses (rough pathse´pera.Ti)initafindesanLyons`al]41[lI.)ee´n(09seunags’d’it nouvelleapprochetrajectorielleducalculstochastique,quipermetunege´n´eralisationde lathe´oried’Itoˆa`desnon-martingalesetoffree´galementdescontrˆolestre`sfinsquanta` lar´egularit´edesdiffusions. Lathe´orieae´te´originellementd´evelopp´eeenvuedel’analysedessyst`emesdiffe´rentiels stochastiques standards m dy t =σ(y t )dx t , y 0 =a∈R, o`uxr´irelnnreieulegp(spmetnte).s.sunupsrsoceesstastitochluituqmesnoiidemσun champdevecteursplusieursfoisdiff´erentiable.Letraitementthe´oriquedecette´equation vial’approcheroughpathsadonne´lieucesderni`eresanne´esa`unerichelitt´erature etatteintde´sormaisunniveaudematurit´etr`ese´lev´e,commel’are´cemmentrapport´e l’ouvrage exhaustif de P. Friz et N. Victoir ([12]). Lenouveaud´efidelath´eoriedestrajectoiresrugueusesconsistea`pre´senta`transposer lesgrandsprincipesdelam´ethodedansdescontextesdesyst`emesdiff´erentielsmoins standards,finietinfini-dimensionnels.C’estdanslecadredecetobjectiftre`sge´n´eral ques’inscriventmestravauxderecherchesurlesroughpaths.Defac¸onpluspr´ecise, j’aieul’occasiond’aborderdeuxgrandesclassesd’´equation:lessyste`mesdeVolterra (fini-dimensionnels)etles´equationsparaboliques. 1.1.etlorarroitaVednL’qu´eugueuse.erinaontiacfreltienemid´ffreudystse`Ils’agit Z t y t =a+σ(t, u, y u )dx u ,(1) 0 d o`u,dansnotrecadred’´etude,x: [0, T]→Rprrese´eeuntronpque)ecsssus(othcsait dont les trajectoires sont p.s.γ´eld¨o-hs,neenrinuecopruntriaγ∈(0,1). Lorsquex estunmouvementBrownienstandard,ondisposedepuislongtempsd’unegammetr`es compl`eteder´esultatsassocie´sa`cette´equation(citonsparexemple[16]).Enrevanche, l’extensionnaturelledecemode`le`adesbruitsgaussiensplusg´ene´rauxn’avaitjusqu’alors donne´lieu`aaucune´etudesp´ecifique.Laparticularite´decesyst`emer´esidebienentendu danslapre´sencedelavariablecourantetaiesu´egrantndel’intσ(t, u, y u p,´hnemo)ene` quiinduitunede´pendancedesvariationsdelatrajectoirevis-a`-visdetoutsonpasse´. En effet, sisettsont deux instants de [0, T], Z Z t s y t −y s =σ(t, u, y u )dx u + [σ(t, u, y u )−σ(s, u, y u )]dx u .(2) s0 Unpremiertravail,quiadonn´elieu`al’article[10]publie´dansStochastics and Dy- namicsppuyants(1)ens’ae´utidreistse´a`sdthsanousrpaghsilaedemelrumrofnoca, saversionclassique.Deuxtypesder´esultatssontressortisdecettee´tude: 1