Dans ce chapitre P designe le plan affine euclidien P designe le plan vectoriel euclidien

Description

Geometrie du plan 21 octobre 2011 Dans ce chapitre, P designe le plan affine euclidien ; ?? P designe le plan vectoriel euclidien. Les angles sont tous supposes orientes dans le sens trigonometrique et on mesure donc des angles orientes. I Produit scalaire dans le plan 1. Definition Definition 1 Soient ~u et ~v deux vecteurs du plan ?? P . le produit scalaire de ~u et ~v note ~u · ~v ou (~u|~v) est le reel : ~u · ~v = { 0 si ~u = ~0 ou ~v = ~0 ?~u? ?~v? cos ( (?~u,~v) ) sinon. 2. Proprietes Le produit scalaire dans le plan ?? P est une application de ?? P ? ?? P ? R qui a (~u,~v) ? ?? P ? ?? P associe le nombre reel (~u|~v) . Les proprietes1 suivantes du produit scalaire sont a connaıtre absolument2. Propriete 1 Le produit scalaire dans le plan ?? P est une forme bilineaire symetrique definie positive, c'est-a- dire une application de ?? P ? ?? P dans R (on parle de forme lorsqu'on arrive dans R) : 1.

• produit scalaire


• proprietes


• sin a?


• determinant


• v? sin


• aire algebrique du parallelogramme delimite

Sujets

• Produit scalaire
• Déterminant
• maths
• exercice
• cours
• exercices

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 octobre 2011
• Nombre de lectures: 64
• Langue: Français

Extrait

G´eom´etrieduplan

21 octobre 2011

−→ Dans ce chapitre,Plidieeucen;dise´lengalpenffianPd´enelsegievtclpnaucleieor.endili Lesanglessonttoussuppose´sorient´esdanslesenstrigonome´triqueetonmesuredoncdesanglesorient´es.

I

Produit scalaire dans le plan

1.De´finition −→ D´efinition1Soient~uet~vdeux vecteurs du planP. le produit scalaire de~uet~vntoe´u~∙v~ou(~u|v~):lee´retles ( ~ ~ 0si~u= 0ou~v= 0   ~u∙v~= [ k~uk kv~kcos (,uv~~)sinon.

2.Propri´et´es −→ −→ −→ −→ −→ Le produit scalaire dans le planPest une application de→P × P Ra(i`quv,~~u)∈ P × Passocie le nombrer´eel(~u|~v). 1 2 Lespropri´et´essuivantesduproduitscalairesont`aconnaıˆtreabsolument. −→ Propri´et´e1Le produit scalaire dans le planP-a`-tse’c,utseofenbemrniliiruq´mteeryse´iativeposifinieed´e −→−→ dire une application deP × PdansR(on parle de forme lorsqu’on arrive dansR) : 1.bilin´eaire,soit: (a)lin´eaire`agauche: −→ 3 2 ∀(w~,v~,u~)∈ P,∀(α, β)∈R,(u~α+βv~|w~) =α(u~|~w) +β(~v|w~) ;

(b)lin´eairea`droite: −→ 3 2 ∀(~u,~v,~w)∈ P,∀(α, β)∈R,

2.sym´etrique,soit:

3.d´efinie,soit:

(u~|v~α+w~β) =α(~u|v~) +β(u~|~w)

−→ 2 ∀(~v~u,)∈ P,(u~|v~) = (v~|u~).

−→ −→ ∀~u∈ P,(~u|u~) = 0⇔~u= 0.

4. positive, soit : −→ ∀~u∈ P,(u~|~u)≥0 1 Onles´etablitplusloinenexercicea`l’aidedelarepr´esentationcomplexeduproduitscalaire. 2 Onnedoitpassimplements’arreˆterauvocabulaire,maiseˆtrecapablededonnerlesensdechaquemot

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