LE SPECTRE DES SURFACES HYPERBOLIQUES

Nicolas Bergeron

Description

• cours - matière potentielle : m2

Nicolas Bergeron LE SPECTRE DES SURFACES HYPERBOLIQUES

• séries d'eisenstein pour sl
• théorème de luo-rudnick-sarnak
• lindenstrauss
• arithmétiques compactes
• introduction aux travaux de lindenstrauss sur la conjecture d'unique ergodicité quantique
• unique ergodicité
• arithmétique
• arithmétiques
• surface hyperbolique
• surfaces hyperboliques

Sujets

• Schenck
• Rivière
• Sabbah
• Bergeron
• Álvarez
• Institut de Mathématiques de Jussieu
• Surface
• Compact

Informations

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Extrait

Nicolas Bergeron

LE SPECTRE DES SURFACES HYPERBOLIQUES

N. Bergeron Institut de Mathématiques de Jussieu, Unité Mixte de Recherche 7586 du CNRS, Université Pierre et Marie Curie, 4 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France. E-mail :[e-mail] Url :http://people.math.jussieu.fr/~bergeron

Classification mathématique par sujets(2000).11F72, 11F12, 11F06, 58G25, 30F35, 30F45. Mots clefs.Surfaces hyperboliques, groupes fuchsiens, groupes arithmé- tiques, théorie spectrale, fonctions automorphes, formule des traces de Sel- berg, formes de Maass, correspondance de Jacquet-Langlands, chaos quan- tique.

TABLE DES MATIÈRES

Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vii

1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Analyse spectrale sur les tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Le plan hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Surfaces hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Description des principaux résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Commentaires et références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 5 11 17 25 25

2. Surfaces hyperboliques arithmétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 2.1. Espaces de réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Algèbres de quaternions et groupes arithmétiques . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Surfaces hyperboliques arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4. Commentaires et références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Décomposition spectrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 3.1. Le laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Fonctions propres du laplacien surH52. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Opérateurs intégraux invariants surH56. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Transformée de Selberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5. Une famille d’exemples : le noyau de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.6. Le laplacien surΓ\H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7. Opérateurs intégraux surΓ\H67. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Rappels d’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.9. Démonstration du théorème spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.10. Le principe du minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.11. Commentaires et références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

iv

TABLE DES MATIÈRES

4. Formes de Maaß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 4.1. Séries d’Eisenstein pourSL(2,Z)89. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Séries d’Eisenstein et spectre du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3. Existence de formes paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4. Périodes hyperboliques des séries d’Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.5. Construction explicite de formes de Maaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.6. Commentaires et références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5. Formules des traces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135 5.1. La formule des traces de Selberg I : cadre général . . . . . . . . . . . . 135 5.2. La formule des traces de Selberg II : cas des surfaces compactes 139 5.3. La formule des traces de Selberg III : le cas deSL(2,Z)146. . . . . . 5.4. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.5. Commentaires et références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6. Multiplicité deλ 1 et conjecture de Selberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 6.1. Comptage de points dans les réseaux arithmétiques . . . . . . . . . . 171 6.2. Multiplicité de la première valeur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.3. Représentations du groupePSL(2,Z/pZ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.4. Minoration de la première valeur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.5. Commentaires et références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7. FonctionsLet conjecture de Selberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189 7.1. FonctionL190attachée à une forme de Maaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Opérateurs de Hecke et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.3. Caractères de Dirichlet et formes de Maaß tordues . . . . . . . . . . . 204 7.4. FonctionsLde Rankin-Selberg 212. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Théorème de Luo-Rudnick-Sarnak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.6. Borne sur les coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.7. Commentaires et références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8. Correspondance de Jacquet-Langlands. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237 8.1. Arithmétique des algèbres de quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 8.2. Plongements optimaux de corps quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . 243 8.3. Les formules de traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 8.4. Correspondance de Jacquet-Langlands et applications . . . . . . . . 255 8.5. Commentaires et références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

9. Unique ergodicité quantique arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .263 9.1. Quantification du flot géodésique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 9.2. Relèvement microlocal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 9.3. Premiers liens avec la théorie ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 9.4. Multiplication par2et3sur le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 9.5. Opérateurs de Hecke et théorème de Lindenstrauss . . . . . . . . . . . 288 9.6. Utilisation des opérateurs de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 9.7. Commentaires et références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

TABLE DES MATIÈRES

Appendices

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A. Trois systèmes de coordonnées pourH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307

B. Fonction Gamma et fonctions de Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309 Fonction Gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Fonctions de Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

C. Estimation élémentaire des sommes de Kloosterman multiples par Valentin Blomer & Farrell Brumley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313

Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319

Index des notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331

Index terminologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333

Index des noms cités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .337

AVANT-PROPOS

Dans cet ouvrage, nous proposons une introduction à l’étude du spectre du laplacien sur les surfaces de courbure−1. Le laplacien est l’un de ces ob- jets mathématiques que l’on retrouve dans (presque) tous les domaines des mathématiques. Sur le cercle euclidien le laplacien est l’opérateur « dérivée seconde », l’analyse de son spectre fait l’objet de la théorie de Fourier. La théorie de Fourier est un ingrédient clef de la théorie analytique des nombres. L’une des démonstrations du prolongement analytique de la fonction zêta proposées par Riemann repose sur la formule de Poisson que nous rappelons au premier chapitre. En 1956 le mathématicien norvégien Selberg a proposé une généralisation de la formule de Poisson, laformule des traces de Selberg. Cette formule – que nous démontrons au chapitre 5 – est très proche de formules (ditesex- plicites) en théorie des nombres. Dans l’analogie puissante que dégage ainsi Selberg, les géodésiques fermées des surfaces de courbure−1compactes jouent le rôle des nombres premiers. Et la formule des traces de Selberg éta- blit une relation entre les géodésiques fermées d’une surfaceSet le spectre du laplacien surS. Ces résultats ont immédiatement été reconnus comme un éclairage nouveau sur l’hypothèse de Riemann. Cette dernière tient bon... Mais, depuis la fin des années 60, Langlands fait jouer un rôle central à la formule des traces dans son ambitieux programme qui vise à relier la théo- rie des nombres à l’analyse harmonique sur des espaces dits « localement symétriques » au premier rang desquels figurent les surfaces de courbure−1. De nombreux textes ont déjà été écrits sur l’extension de la théorie de Fourier aux surfaces de courbure−1; citons en particulier le texte d’intro- duction maintenant classique d’Iwaniec [62] (dirigé vers les applications en théorie analytique des nombres) et le livre de Buser [24], plus géométrique.

viii

AVANT-PROPOS

En français l’ouvrage le plus proche est certainement le livre de Kowalski [70] où une partie de la théorie de base est présentée. Pourquoi un nouvel ouvrage ? Depuis une trentaine d’années le programme de Langlands se développe et la théorie des nombres comme la théorie spectrale sur les espaces locale- ment symétriques en récoltent des fruits. Mais il devient difficile de pénétrer un monde de jour en jour plus vaste. Nous avons voulu écrire un ouvrage « porté » par le point de vue du programme de Langlands mais écrit dans un langage classique. Cela nous amène naturellement à discuter en détail les surfaces hyperboliques arithmétiques compactes. On présente en particulier une preuve du premier résultat frappant du programme de Langlands : la correspondance de Jacquet-Langlands. On espère que la démonstration que l’on en donne – due à Bolte et Johansson – sera plus directement accessible à un lecteur qui n’est pas familier des adèles et que cela lui permettra par la suite de se plonger dans l’œuvre originale de Jacquet et Langlands. Une motivation supplémentaire nous a été fournie par trois autres résul- tats récents que nous décrivons en détail dans l’introduction : la minora- tion des valeurs propres pour les surfaces arithmétiques par la méthode de Luo-Rudnick-Sarnak, la jolie preuve de l’existence de formes paraboliques pour les sous-groupes de congruence deSL(2,Z)due à Lindenstrauss et Venkatesh, et enfin la preuve par Lindenstrauss de la conjecture d’unique ergodicité quantique de Rudnick et Sarnak pour les surfaces arithmétiques compactes (et pour les limites « arithmétiques »), par des méthodes de théo- rie ergodique. On démontre complètement les deux premiers résultats et le dernier chapitre contient une introduction aux travaux de Lindenstrauss sur la conjecture d’unique ergodicité quantique.Viace dernier chapitre en particulier, on espère amener le lecteur au cœur de la recherche actuelle. À qui s’adresse cet ouvrage ? Le lecteur est supposé connaître les bases de géométrie différentielle et d’analyse fonctionnelle. Notre ambition a été de rendre l’ensemble du texte lisible par un étudiant motivé de M2 ou un collègue spécialiste d’autres domaines intéressé par le sujet. Cependant les chapitres n’ont pas tous le même degré de difficulté. Pour un lecteur prêt à prendre certaines définitions comme données plutôt que comme cas particuliers de concepts généraux de géométrie riemannienne, nous développons – dans les premiers chapitres – la théorie de base à l’aide d’outils usuels d’algèbre et d’analyse de M1 (intégra- tion, analyse de Fourier, espaces de Hilbert).A contrario, les trois derniers chapitres – plus directement en prise avec la recherche actuelle – relèvent plutôt d’un cours de M2 « spécialisé ». En préférant parfois restreindre la

AVANT-PROPOS

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généralité, nous avons cependant essayé de simplifier certaines preuves. Les énoncés les plus forts sont alors cités ensuite. Enfin au lecteur soucieux d’approfondir les choses on ne saurait trop recommander le bel article de Sarnak [112] intitulé « Spectra of hyperbolic surfaces » auquel cet ouvrage emprunte son titre et une grande partie de son découpage.

Remerciements Un immense merci à Nalini Anantharaman qui a relu le texte en pro- fondeur. Ce livre aurait contenu bien plus d’erreurs sans ses nombreuses corrections. Un second relecteur anonyme m’a fait de nombreuses remarques construc- tives qui m’ont permis de simplifier certaines démonstrations et de corriger des erreurs, je l’en remercie. Un grand merci à Aurélien Alvarez, Jean-Pierre Otal, Gabriel Rivière, Claude Sabbah et Emmanuel Schenck pour leurs relectures et les nom- breuses corrections qu’ils m’ont signalées. Je remercie enfin particulièrement Sébastien Gouëzel de m’avoir auto- risé à reproduire une partie de ses notes sur la démonstration de Host du théorème de Rudolph présentée au § 9.4 et, bien sûr, Valentin Blomer et Farrell Brumley qui ont bien voulu écrire l’appendice C sur la majoration des sommes de Kloosterman multiples et m’ont expliqué comment simplifier la démonstration du théorème 7.38.