M2R Universite de Grenoble Theorie Ergodique

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M2R Universite de Grenoble Theorie Ergodique 2009/2010 Feuille d'exercices no 1 NB : toutes les mesures que l'on considerera seront des mesures de probabilite boreliennes. Exercice 1 : Soit ? ? R. On note R? : x 7? x + ? la rotation d'angle ? sur le cercle unite T1. Donner des mesures de probabilite invariantes pour l'application R?. Montrer que la mesure de Lebesgue ? sur le cercle T1 est invariante par la dilatation M : x 7? 2x. Exercice 2 : Soit h une application de [0, 1] dans [0, 1] laissant invariante toutes les mesures boreliennes. Montrer que h ? Id. Exercice bonus : soit X un espace metrique separable muni d'une mesure de probabilite ?. Soit h une application laissant invariantes toutes les mesures absolument continues par rapport a ?. Montrer que pour ??presque tout x, h(x) = x. Exercice 3 : On considere sur [0, 1] l'application h : x 7?? { x/2 si 0 < x ≤ 1 1 si x = 0 Montrer que h n'admet pas de mesure de probabilite invariante. Donner un exemple de fonction continue sur ]0, 1] qui n'admet pas de mesure de probabilite invariante. Exercice 4 : Transformation de Gauss On appelle transformation de Gauss l'application ? : [0, 1] ? [0, 1] definie par ?(x) = 1x ? ?1 x ? ou byc designe la partie entiere de y.

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• dessin des trajectoires particulieres du pendule


• equation du mou- vement mq


• rotation d'angle ? sur le cercle unite

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• exercice
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Extrait

M2R TheorieErgodique

o Feuille d’exercices n1

UniversitedeGrenoble 2009/2010

NB:touteslesmesuresquel’onconsidereraserontdesmesuresdeprobabiliteboreliennes.

Exercice 1 : 1 Soit∈Rnote. OnR  :x7→x+la rotation d’angleuslrenitcleuecerT. Donner desmesuresdeprobabiliteinvariantespourl’applicationR  . 1 Montrer que la mesure de Lebesguesur le cercleTest invariante par la dilatation M:x7→2x.

Exercice 2 : Soithune application de [0,1] dans [0,islantsa1].senneiesborellesmesuretottuseniavirna Montrer quehId. Exercice bonus :soitXemeupnairuabelseetmreisqde’muneppesocraruudeeniltabib . Soithune application laissant invariantes toutes les mesures absolument continues par rapportaque pour. Montrerpresque toutx,h(x) =x.

Exercice 3 : Onconsideresur[0,1] l’application ½ x/2 si0< x1 h:x7→ 1 six= 0 Montrer quehedeemploD.etnaixenurennlibibaroarnveitnmda’uresepedpaetemsd fonction continue sur ]0,1q]einvariante.erusrpedbabotilin’uimeadastpmede

Exercice 4 : Transformation de Gauss On appelle transformation de Gauss l’application: [0,1]→[0,peinra]1ed ¹ º 1 1 (x) = x x oubycdeentierealaptreidsegieny. L’applicationdeGaussestlieeal’ecrituredesnombressousformedefractioncontinue.

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