MAT231 Chapitre

Joseph Fourier

Description

MAT231, Chapitre 4 MAT231 – Chapitre 4 : Algèbre linéaire Université Joseph Fourier – 2008-2009 Pierre Bérard 1/85 MAT231, Chapitre 4 Rappels de première année Applications linéaires, compléments Matrice associée à une application linéaire Changements de base Réduction des endomorphismes, I Groupe des permutations Formes multi-linéaires Déterminant Déterminant d'un endomorphisme Calcul des déterminants Réduction des endomorphismes, II 2/85

• famille


• groupe de permutations


• changements de base


• dimension


• corps commutatif


• combinaison linéaire


• famille libre

Sujets

• multiplication

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Extrait

MAT231, Chapitre 4

MAT231, Chapitre 4

MAT231 – Chapitre 4 : Algèbre linéaire Université Joseph Fourier – 2008-2009

Pierre Bérard

Rappels de première année Applications linéaires, compléments Matrice associée à une application linéaire Changements de base Réduction des endomorphismes, I Groupe des permutations Formes multi-linéaires Déterminant Déterminant d’un endomorphisme Calcul des déterminants Réduction des endomorphismes, II

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MAT231, Chapitre 4

Chapitre 4, Algèbre linéaire

Dans tout ce chapitre,KdésigneRouC.

MAT231, Chapitre 4 Rappels de première année

Rappels de première année

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Définition (Espace vectoriel) SoitKun corps commutatif. Unespace vectorielsur le corpsKest la donnée d’un groupe commutatif(E+), dont l’élément neutre ’ est noté 0 E , et d une action deKsurE,∙:K×E→E, (λx)7→λ∙x(ou plus simplementλx) telle que I pour tousα β∈Ketx∈E,(α+β)∙x=α∙x+β∙x, I pour tousα∈Ketxy∈E,α∙(x+y) =α∙x+α∙y, I pour tousα β∈Ketx∈E,(αβ)∙x=α∙(β∙x), I pour toutx∈E, 1 K ∙x=x.

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AMT R 2 a 3 p 1 p , el C s ha ed ipt p r r e e 4 mièreannée

Exemples I ’LneesbmelR n , muni des opérations usuelles, l’addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel surR. I blemns’eLeC n , muni des opérations usuelles, l’addition des vecteurs et la multiplication des vecteurs par un scalaire, est un espace vectoriel surC. I lebmesne’LM mn (R)des matrices àmlignes etncolonnes, muni des opérations usuelles, addition des matrices et multiplication d’une matrice par un scalaire, est un espace vectoriel surR.

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Définition On appellecombinaison linéairede vecteurs deEtoute somme (finie) de la formeα 1 u 1 +∙ ∙ ∙+α k u k où lesα j sont des éléments deKet où lesu j sont des éléments deE. Définition On dit qu’une famille{u j } j∈I de vecteurs deEest unefamille génératricesi tout élément deEpeut s’écrire comme combinaison linéaire (finie) d’éléments de la famille{u j } j∈I .

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Définition On dit qu’une famille{u j } j∈I de vecteurs deEest unefamille libre si, pour tout sous-ensemble finiJ ⊂ I, l’égalité P j∈J α j u j =0 implique queα j =0 pour toutj∈ J.

Définition On dit qu’une famille de vecteurs deEest unebasedeEsi elle est libre et génératrice.

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Exemples I La famillee 1 := (10    0)    e n := (0    01)est une famille libre et génératrice deR n . C’est une base deR n . I La famille{1XX 2    }est une base de l’espace vectoriel sur C[X]des polynômes à coefficients complexes. I La famille{e ikx } k∈Z est une famille libre dans l’espace vectoriel surCdes fonctions continues deRdansC. Elle n’est pas génératrice.

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