Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Integration numerique

Michael Eisermann

Description

Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 8 : Integration numerique Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/47

• majoration d'erreur methodes de simpson


• majoration d'erreur methode des trapezes


• proprietes de l'integrale


• formule d'euler-maclaurin extrapolation de richardson


• revision de l'integrale de riemann

Sujets

• cours

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Extrait

Math ´ ematiquesassist ´ eesparordinateur Chapitre8:Int ´ egrationnume ´ rique

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Anne´  e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009

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Motivation et objectifs G ´ eom ´ etriquement,l’inte ´ grale R a b f(x)dx d’une fonction continuef: [a, b]→R mesure l’aire entre l’axe des abscisses etf. L’inte´ gration est aussi l’ope´  ration«inverse» a` l  d  ´ rivation.  SiF: [a, b]→Rv ´ erifie a e F 0 f, alors R a b f(x)dx=F(b)−F(a). = Dansdesrarescasfavorablesonarrive ` aexpliciterune telle fonction F, dite primitive defec.Ctdmeeripeluclaceniatrecresint ´ egrales. Eng ´ ene ´ ralc’esttropdur,voireimpossible:laplupartdesfonctions n’admet pas de primitives s’exprimant a`  l’aide des fonctions usuelles. Motive ´ parcetteprobl ´ ematique,cecourspr ´ esentequelques m ´ ethodespourcalculer ´ munemeuqirent.sareltelldet ´ egesin Comme toujours, avant de calculer quoi que ce soit, il faut d’abord de ´ finir.stee ´ rp ´ ipsorlepaciinpresrslibate ´ siup,noitselo’jbteneuq On commencera donc avec une re´  vision  de l’inte´  grale de Riemann. 2/47

Sommaire

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L’inte ´ graledeRiemann:constructionetpropri ´ et ´ es Construction de l’inte´  grale de Riemann Proprie ´ t ´ rincipalesdel’int ´ egrale es p Differentiation et inte´  gration ´

M ´ ethodesnum ´ eriquesbasiques M ´ ethodesdesrectangles,majorationd’erreur Me´ thode des trape`  zes, majoration d’erreur Comparaison des me´  thodes basiques

M ´ ethodesdeNewton-Cotes Me ´ thodes ´ el ´ ementaires,majorationd’erreur Me ´ thodescompos ´ ees,majorationd’erreur Me´ thodes  de Simpson, Boole, Weddle

La me´  thode de Romberg La formule d’Euler-Maclaurin Extrapolation de Richardson La ´ ethodedeRomberg m

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§1.

Qu’est-ce que l’inte´  grale ? Onveutassocier ` af:R→Reta < b el un nombre re´ R a b f,aelpp ´ e l’inte´ grale  defsur[a, b]er,lvl ´ seeri:fiantquelquesexigencesnatu Constantes : R b a λ= (b−a)λpour toutλ∈R Subdivision : R c a f= R b a f+ R b c fpour touta < b < c Monotonie : R b a f≤ R a b gsif(x)≤g(x)poura < x < b

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Decesaxiomesd ´ ecoulenttouteslespropri ´ ete ´ sdel’int ´ egrale!

Toutd’abord,ilsd ´ efinissentl’int ´ egralepourtoutefonctionenescalier:

Puistouts’ ´ etendauxautresfonctionsint ´ egrablesparencadrement.

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