Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Methodes iteratives

Michael Eisermann

Description

Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 6 : Methodes iteratives Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/48

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• theoreme du point fixe de banach demonstration du theoreme avertissements


• approximation de racines d'apres newton–heron

Sujets

• Fonction
• Point fixe
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• Langue: Français

Extrait

Math ´ ematiquesassist ´ eesparordinateur Chapitre6:Me ´ thodesit ´ eratives

Michael Eisermann

Mat249,DLSTL2S4,Ann ´ ee2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 `

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Objectifs de ce chapitre

L’ite ´ rationestunetechniqueomnipr ´ esentecarsoupleetpuissante: ➤On part d’une approximationu n se’niuqer.troptpassi ` egros ➤On construit une meilleure approximationu n+1 =f(u n ). Ceproc ´ ede ´ estit ´ er ´ edansl’espoirdeconvergerversunesolution.

Biensuˆr,lare ´ ussitedeceproce ´ d ´ ed ´ ependfortementdelafonction a ` it ´ ereretdupointdede ´ part.Cecime ´ riteune ´ etuded ´ etaille ´ e!

Ce chapitre presente d’abord des exemples et un vocabulaire ´ ade´ quat. Ensuite nous e´  tablissons  deux re´  sultats fondamentaux :

1 snoitnocfseltcnos.ctrateaneLhte ´ ronachpour ` emedeBa 2 blLesr ´ ievaam.cnofselre ´ dsnoiteNedodthounptoew

Cesontdesme ´ thodestr ` espuissantes.Pourbienlesappliquer il faut comprendre les crite`  res garantissant leur convergence. Cecoursœuvrepourrendrelesr ´ esultatsmath ´ ematiquesexplicites, pratiques,efficaces, pour qu’ils soient«erret- ` a-programmp». ˆ

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Sommaire

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Systemes dynamiques et points fixes ` Suites iteratives, convergence, points fixes ´ Approximation de racines d’apre`  s Newton H  ´ – eron Instabilit ´ um ´ erique:l’effetpapillon e n Dynamique locale autour d’un point fixe

Leth ´ eor ` emedupointfixedeBanach Fonctions contractantes Le the´  oreme du point fixe de Banach ` De ´ monstrationduth ´ eoreme ` Avertissements et ge´ ne´ ralisations

Lam ´ ethodedeNewton Points fixes super-attractifs L’id ´ eeetlaformuledeNewton Fonctions convexes et convergence monotone Crit ` eresdeconvergence,bassind’attraction

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§1.

Convergence d’une suite nume´  rique (rappel) La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite.

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D ´ efinition(convergence)

Unesuite(u n ) n∈N dansRest une applicationN→R,n7→u n . La suite(u n ) n∈N dansRconvergevers`∈Rsi pour toutε >0 il existeN∈Ntel que pour toutn≥Non ait|u n −`| ≤ε.

Exemple

Pour|k|<1goeiuetiruq ´ mteelask n converge vers0. ´

Exemple

Soitu 0 = 0puisu n+1 = 9+ 10 u n pour toutn∈N. u 0 = 0, u 1 = 0.9, u 2 = 0.99, u 3 = 0.999, u 4 = 0.9999 . ., .

Cette suite converge vers1, car|u n −1|= ( 01 1 ) n →0. (Exercice)

Ici onerit ` ela fonctionf:R→R donne´ e  parf(x) = 9+ 10 x . La limite1est unpoint fixecarf(1) = 1 et il s’ave`  reattractif.

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