Série 6 (Corrigé

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Algèbre linéaire pour GM Jeudi 03 novembre 2011 Prof. A. Abdulle EPFL Série 6 (Corrigé) Exercice 1 a) Calculer la décomposition LU de la matrice A =    9 6 3 6 3 1 1 0 1   . Sol.: On effectue la réduction de la matrice A jusqu'à obtenir une forme échelonnée. On calcule au fur et à mesure la matrice triangulaire inférieure L (pour la première colonne de L, on a li1 = ai1a11 et ainsi de suite pour les colonnes suivantes).

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Sujets

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Extrait

Algèbre linéaire pour GM Prof. A. Abdulle

Série 6

(Corrigé)

Jeudi03novembre2011 EPFL

Exercice 1   9 6 3   a) Calculer la décomposition LU de la matriceA=  6 3 1  . 1 0 1 Sol.:On effectue la réduction de la matriceAjusqu’à obtenir une forme échelonnée. On calcule au fur et à mesure la matrice triangulaire inférieureL(pour la première a colonne deL, on al i1 =et ainsi de suite pour les colonnes suivantes). a 11       93 9 6 36 3 9 6       A=  63 1  →  0−1−1  →  0−1−1  =U 224 10 1 0−0 0 333       11 0 00 0 1 0 0  2   2   2   1 0  →  10  →  1 0  =L. 33 3 1121 2 0 1 11 9939 3 On a donc la décompositionA=LU,     1 0 0 9 6 3  2    L=  1 0  U=  0−1−1  . 3 1 2 4 1 0 0 9 3 3

b) Résoudre le système linéaireAx=b, oùAest la matrice cidessus, en utilisant la   1   décomposition LU, avecb=  2  . 3 ( Ly=b(i) Sol.:Ax=b⇐⇒LU x=b⇐⇒ U x=y.(ii)   1  4  Solution de (i):y=   . 3 2   3 2  17  Solution de (ii):x=  −  . 6 3 2

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