UNIVERSITE PARIS SUD FACULTE DES SCIENCES D'ORSAY

Laurent Fargues

Description

UNIVERSITE PARIS-SUD FACULTE DES SCIENCES D'ORSAY MEMOIRE Présenté pour obtenir LE DIPLOME D'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN SCIENCE DE L'UNIVERSITE PARIS XI Spécialité : Mathématiques par Laurent Fargues Géométrie et cohomologie de certains espaces de modules p-adiques Soutenu le 30 novembre 2009 devant la commission d'examen : M. Henri CARAYOL (université de Strasbourg) M. Jean-Marc FONTAINE (université Paris 11) M. Michael HARRIS (université Paris 7) M. Gérard LAUMON (Rapporteur, CNRS) M. Michael RAPOPORT (Rapporteur, université de Bonn) M. Richard TAYLOR (Rapporteur, université d'Harvard, absent)

• tour de lubin-tate


• isomorphisme entre les tours de lubin-tate et de drinfeld


• invariance par completion formelle de la filtration de monodromie sur les cycles


• schema formel


• immeuble de bruhat-tits du groupe


• espaces de modules locaux


• m?

Sujets

• multiplication
• conjugaison
• maths
• mathématiques
• mathématique

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 novembre 2009
• Nombre de lectures: 100
• Langue: Français

Extrait

                               

UNIVERSITE PARIS-SUD FACULTE DES SCIENCES D’ORSAY

MEMOIRE

 Présenté pour obtenir   LE DIPLOME D’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN SCIENCE DE L’UNIVERSITE PARIS XI

Spécialité : Mathématiques par Laurent Fargues

Géométrie et cohomologie de certains espaces de modules p-adiques

 Soutenu le 30 novembre 2009 devant la commission d’examen :

M. Henri CARAYOL (université de Strasbourg) M. Jean-Marc FONTAINE (université Paris 11) M. Michael HARRIS (université Paris 7) M. Gérard LAUMON (Rapporteur, CNRS) M. Michael RAPOPORT (Rapporteur, université de Bonn) M. Richard TAYLOR (Rapporteur, université d'Harvard, absent)

´ ´ GEOMETRIE ET COHOMOLOGIE DE CERTAINS ESPACES DE MODULES p-ADIQUES LAURENT FARGUES

` Table des matieres 1.Espacesdemoduleslocaux:ge´n´eralit´es1 2.Re´sultatssurlacohomologiedesespacesdeRapoport-Zinkobtenuspardesm´ethodes globales 3 3. L’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld 4 4. Description de l’isomorphisme entre les deux tours au niveau des squelettes et ramification des groupes de Lubin-Tate 9 5.Autodualite´delacohomologiedelatourdeDrinfeldsousl’involutiondeZelevinsky18 6.Invarianceparcompl´etionformelledelafiltrationdemonodromiesurlescycles evanescents 22 ´ 7.FiltrationsdeHarder-Narasimhandessche´masengroupesfinisetplatsetapplication aux groupesp-divisibles 23 8. Espaces de Banach-Colmez 27 Articlespr´esent´es31 R´ef´erences31

´ ´ ´ 1.Espaces de modules locaux : generalites Dansmestravauxjemesuisint´eresse´auxespacesdemodulesdegroupesps-´dseinfieividlbis parRapoportetZink([22]),leurcohomologieetlare´alisationge´ome´triquedecorrespondancesde Langlandslocalesdanscesespacesdecohomologie.Commen¸consparrappelerquelquesde´finitions et notations concernant ces espaces. 1.1..noie´DtinfiSoitpenlcoˆutF.xinousepremierunnombrbe´glaereuqirQ p deQ p . On suppose donn´euntriplet(G, b) o` , u : –Gungrestepuode´ritcurusfQ p – siL=W(F p )[ p 1 ] etσ∈Aut(LnesonFrobenius,)´dsegibest une classe deσ-conjugaison dans G(L) ` –:G m −→ Q p ulepnuscaris`ocnuaracetcimersteG(Q p nouj)c-norpagsis.`e NotonsEaisondeedocjnguallcsaesfie´dedspednoitinorecl,uneexte´rgeinfieoisndedn ˘ deQ p dansQ p . On noteEmaxisionxtenel’e´tdelpe´cemoledee´fiimarnonelamEdansQ p . On noteJ b leσ-centralisateur debdansG(L). Il s’agit desQ p reeuri´eund’-poitndsu’enofmrietn sous-groupedeLevidelaformeint´erieurequasid´eploy´eedeG´nodaLemaltuenenpregd´ . nnee com mode`leentierGdeG. SoitG(Z p ) le sous-groupe compact ouvert deG(Q p esruq.eoLco´iss)aGest nonramifi´eGnocefdtosse´reasuppuctir´edG(Z p sapesoppeme´crofiaecp´rssuneOnl.yhep)ntG nonramifi´eafind’inclurelecasdesespacesdeLubin-TateetdeDrinfeld. Sous certaines conditions sur le triplet (G, b, ) Rapoport et Zink on construit dans [22] des espaces de modulespilntntsoisecme´eulP.´rpsida-seuquitrnscot: Date: 4 mars 2009. 1

2G´eom´etrieetcohomologiedecertainsespacesdemodulesp-adiques c –Unsche´maformelMlocalement formellement de type fini sur Spf(O E ˘ ) muni d’une action ˘ continue deJ b eetdcenteddoensn’´ueendeM c −→M c (σ) deEa`E. ˘ ˘ – Une tourJ b ×G(Q p inumetnairaviuqe-´)eseectndenn´eededed’unedoE`aEdeE-espaces analytiques au sens de Berkovich (M K ) K ou`Kparcourt les sous-groupes ouverts deG(Z p ) et telle que c M an =M G(Z p ) c c ou`M an e´neuqireded´esignelafibreg´Mau sens des espaces analytiques de Berkovich. Rappelonsrapidementlad´efinitiondecesespacesdanslecasleplussimple.Soientn, ddeux n. Soient nombres entiers tels quen≥1 et 0≤d≤G= GL nQ p ,G= GL nZ p , (z) = diag(z,    , z,1,    ,1) { } d−fois etb∈GL n (L) tel que l’isocristal (L n , bσ) soit l’isocristal covariant d’un groupep-divisible de dimensiondet hauteurnsurF p . SoitHun groupep-divisible surF p muni d’un isomorphisme (D(H)[ p 1 ], ϕ)− ∼ →(L n , bσ) qui induit une identification J b = End(H) × Q  c On aE=Q p oraflmescLeemh´.Mest alors tel que siSest unW(F p -sch)lqeeuuslre´ampest localement nilpotent c M(S) ={(H, ρ)}∼ ou`Hest un groupep-divisible surSet ρ:H× Spec(F p ) S−→H× S S estunequasi-isoge´niedegroupesp-divisibles,Stioneduclomodusegi´dal´rantnpdeS. L’action de c c J b surMse fait viaρet l’action deJ b  sur ´ i spar quasi-isoH. SurM an lacoleme`tsysnaulyi gen e e´talep-adique de rangnedaTudelal´detedmatieforiveronuneL.elleseteˆverssntmeelomperano´nd c (M K ) K⊂GL n (Z p ) deM an o-emononsdostnboetnuspartrivialisanoitrapsleitdselarelr´epenestita dromieassocie´e(enlaforc¸ant`avivredanslesous-groupeKecis´eme.Pluspr´)tns,iK⊂GL n (Z p ) c est un sous-groupe ouvert alorsM K suleta´ereletneseuaecsiafr´rpeM an Isom  (p −k ZZ) n , H univ [p k ] an  K ou`k≫ +0 est tel que Idp k M n (Z p )⊂KetH univ ´edisnglegeorpuepivisibleassoci´ela`da- c de´formationuniversellesurM. 1.2.Cohomologie.Soitℓre´edentieemiffrderrponbmnup. On noteW E le groupe de Weil deE. L’objetprincipalauqueljemesuisint´eress´eestlesuivant.PourKoe´xgernfimohogilodearcolae ´etaleℓapeinfie´deuqellevikoerrBmidilarVuq`ea-idacttcompportasupch H c • (M K ˆ ⊗C p ,Q ℓ ) Celle-ci est une munie d’une action deJ b ×W E nde`oa’luoitcJt lisse de type fini (je renvoie ` b es a math`ese[F2]pourlesproprie´te´sdebasedecesrepr´esentationsquisontde´duitesdediversr´esultat deBerkovichpourlage´ome´trieetdeBernsteinpourlathe´oriedesrepresentations). ´ Bienquelarepre´sentationdeJ b ,epr´ec´edentH c • (M K ⊗ ˆ C p ,Q ℓ ), soit de type fini elle n’est pas enge´n´eraldelongueurfiniei.e.n’estpasadmissible. AfindeconstruiredescorrespondancesdeLanglandsj’airegarde´laconstructionsuivante.Soit πledeunatnenoitperese´rdu´eibctsslirreiJ b `aciencoeffisnstadQ ℓ soneris´dC.no lim Ext • J H c • (M K , π   −→ b  ⊗ ˆ C p ,Q ℓ ) K