Unité d'Enseignement MAT112

Description

Niveau: Elementaire
Unité d'Enseignement MAT112 Algèbre et géométrie élémentaires Table des matières 1 Calcul algébrique 3 1.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Langage mathématique 12 2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Plan et espace 26 3.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Systèmes linéaires 35 4.1 Vrai ou faux .

• argument de z2


• double de l'argument de z


• argument de z


• tiercés


• course de chevaux


• calcul algébrique


• systèmes linéaires


• somme des entiers


• opposé

Sujets

• Course de chevaux
• Calcul algébrique
• Opposé

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Extrait

Unité d’Enseignement MAT112 Algèbre et géométrie élémentaires http://ljk.imag.fr/membres/Emmanuel.Maitre/Enseignement/MAT112/ Table des matières 1 Calcul algébrique 3 1.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Langage mathématique 12 2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Plan et espace 26 3.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Systèmes linéaires 35 4.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5 Dimension finie 40 5.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6 Calcul matriciel 47 6.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1

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1 Calcul algébrique 1.1 Vrai ou faux Vrai-Faux 1.1.Soitnun entier>2. Parmi les expressions suivantes lesquelles sont égales àn, lesquelles sont différentes et pourquoi ? n 1. X 1. k=0 n−1 2. X 1. k=0 n 3. X 2k/n. k=1 n−1 4. X 2k/(n−1). k=0 n n−1 5. X k− X h. k=1h=0 n n−1 6. X k− X h. k=1h=2 n−1n−2 7. X k− X h. k=1h=2 n 8. X 1. k=n n 9. X k. k=n Vrai-Faux 1.2.Soientnetkdeux entiers tels que16k6n. Nous conviendrons que les entiers compris entreketnsontk, k+ 1, . . . , n−1, n. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? 1.Le nombren!/(n−k)!est entier. 2.Le nombrek!/(n!)est entier. 3.Il y an−kentiers compris entreketn. 4.Il y a(n−k+ 1) 2 couples d’entiers compris entreketn. 5.Il y a  n− 3 k+1  deux à deux, et tous compris entretriplets d’entiers, différents ketn.

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6.Il y a  n−k+ 3 1  triplets d’entiers(a, b, c)tels quea < b < c, eta, b, ccompris entreketn. 7.La somme des entiers compris entreketnest(n−k)(n−k+ 1)/2. 8.La somme des entiers compris entreketnestn(n+ 1)/2−k(k+ 1)/2. 9.La somme des entiers compris entreketnestn(n+ 1)/2−k(k−1)/2. 10.La somme des nombres2 h pourhcompris entreketnvaut2 n+1 −2 k+1 . 11.La somme des nombres2 h pourhcompris entreketnvaut2 n+1 −2 k . Vrai-Faux 1.3.Dans une course de chevaux, 10 chevaux sont au départ. Vous en choi- sissez 3 que vous classez pour jouer au tiercé. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? 1.Il y a 3 tiercés dans le désordre. 2.Il y a3!tiercés, dont1dans l’ordre. 3.Il y a  0 3 1  tiercés possibles. 4.Il y a 720 ordres d’arrivée possibles. 5.Il y a plus de 3 millions d’ordres d’arrivée possibles. 6.Vous avez720choix différents. 7.Vous avez une chance sur 120 de gagner le tiercé dans l’ordre. 8.de gagner, soit dans l’ordre, soit dans le désordre.Vous avez une chance sur 120 Vrai-Faux 1.4.Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? n 1. X 3 k 3 = n+1 2 −1 . k=0 2. X =. n−1 3 k 3 n 2 −1 k=1 n−1 3 k = 3 n 3 3. X 2 − . k=1 n 4. X n 3 k = 4 n . k=0  k  n 5. k= X n 1  k n  3 k = 4−3. 6. k n = X − 0 1  k n  3 k = 4 n −3 n .

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7. k X n =2  k n  3 k = 4 n −1−3n. Vrai-Faux 1.5.Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? 1.Tout nombre réel a pour argument0. 2.Tout nombre réel strictement négatif a pour argumentπ. 3.imaginaire pur non nul a pour argumentTout nombre π/2ou3π/2. 4.Le conjugué d’un nombre imaginaire pur est égal à son opposé. 5.Si deux nombres complexes ont le même argument alors leur produit est réel. 6.Le produit de deux nombres imaginaires purs est réel. 7.Si deux nombres complexes non nuls ont le même argument alors leur quotient est réel. 8.ont le même module alors leur quotientSi deux nombres complexes non nuls a pour module1. Vrai-Faux 1.6.Soitzun nombre complexe non nul. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? 1.Le module dezégal au module de son conjugué. 2.L’argument dezest l’opposé de l’argument de son conjugué. 3.Le produit dezpar une racinen-ième de l’unité a le même module quez. 4.L’argument de−zest l’opposé de l’argument dez. 5.Si la partie imaginaire dezpositive, alors son argument est compris entreest 0etπ. 6.L’argument dez 2 est le double de l’argument dez. 7.L’argument dez/zest égal à l’argument dez 2 . Vrai-Faux 1.7.On posez=− p 2 + √ 2 + i p 2 √ −2. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? 1.la partie réelle dezest l’opposé de sa partie imaginaire. 2.la partie réelle dez 2 est l’opposé de sa partie imaginaire. 3.l’argument dez 2 est−π/4. 4.l’argument dez 2 est7π/4. 5.le module dez 2 est 16. 6.le module dezest2. −/4 7.z 2 = 4e iπ . 8.z= 2e −iπ/8 .

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9.z= 2e i(7π/8) . 10.cos(7π/8) = ( p 2 + √ 2)/2. 11.cos(π/8) = ( p 2 + √ 2)/2. 12.sin(7π/8) = ( p 2− √ 2)/2. Vrai-Faux 1.8.A tout nombre complexez6=−2, on associez 0 = (z−4i)/(z+2). Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? 1.L’ensemble des points d’affixeztels quez 0 est réel est un cercle. 2.L’ensemble des points d’affixeztels quez 0 est réel est une droite privée d’un point. 3.L’ensemble des points d’affixeztels quez 0 est imaginaire pur est un cercle privé d’un point. 4.L’ensemble des points d’affixeztels que|z 0 |= 1est un cercle. 5.L’ensemble des points d’affixeztels que|z 0 |= 1est une droite privée d’un point. 6.L’ensemble des points d’affixeztels que|z 0 |= 1est une droite. Vrai-Faux 1.9.L’application qui à un point d’affixezassocie le point d’affixeiz−1 est (vrai ou faux et pourquoi) ? 1.une translation. 2.une homothétie de rapporti. 3.une rotation. 4.une rotation dont le centre est le point d’affixe1. 5.dont le centre est le point d’affixeune rotation −(1 + i)/2. 6.une rotation d’angle−π/2. Vrai-Faux 1.10.L’application qui à un point d’affixezassocie le point d’affixeizest (vrai ou faux et pourquoi) ? 1.une homothétie de rapporti. 2.une rotation. 3.une symétrie. 4.la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. 5.symétrie par rapport à la première bissectrice.la

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1.2 Exercices Exercice 1.1.Calculer les nombres suivants. 3k3k3k X X 1, X X h , X X k , k=1h=1k=1h=1k=1h=1 3k3k3k X Y h , X Y k , Y X h , k=1h=1k=1h=1k=1h=1 3k3k3k Y X k , Y Y h , Y Y k . k=1h=1k=1h=1k=1h=1 Exercice 1.2.Soienta 1 , a 2 , a 3 , a 4 quatre variables. Ecrire à l’aide des symboles P et Q les quantités suivantes. 1.a 1 +a 2 +a 3 +a 4 . 2.a 1 +a 1 a 2 +a 1 a 2 a 3 +a 1 a 2 a 3 a 4 . 3.a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 4 . 4.a 1 a 2 a 3 +a 2 a 3 a 4 . 5.a 1 a 2 +a 1 a 3 +a 1 a 4 +a 2 a 3 +a 2 a 4 +a 3 a 4 . 6.a 1 (a 1 +a 2 )(a 1 +a 2 +a 3 )(a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ). Exercice 1.3.Démontrer les égalités suivantes. n 1. Y (2k) = 2 n n!. k=1 2. n Y −1 (2k (2 +1) 2 n n n! )! . = k=1 3 n Y 2 2 k k−1 2= 1+ n+ 1. . k=1 n (n+ 1)! 4. Y k 2 k − 2 1 n = . k=2 Exercice 1.4.Une entreprise veut se donner un nouveau sigle, qui soit formé d’exacte- ment 3 lettres. De combien de façons peut-elle le faire ? Combien reste-t-il de possibilités si on impose au sigle d’être formé de lettres distinctes ? Exercice 1.5.On met dans une boîte 26 jetons de Scrabble, portant chacune des lettres de l’alphabet. On en tire 3 à la fois. Combien de tirages différents peut-on obtenir ?

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Exercice 1.6.Dix personnes doivent s’asseoir autour d’une table circulaire. On consi- dère comme identiques deux dispositions dont l’une se déduit de l’autre par une rota- tion. Combien y a-t-il de dispositions possibles ? Combien en reste-t-il si deux personnes données refusent d’être assises à côté ? Exercice 1.7.Une association comprenant 20 membres dont 12 femmes et 8 hommes désire former un comité de 5 personnes, dans lequel doivent se trouver au moins deux hommes et deux femmes. Calculer de combien de façons on peut former ce comité dans chacun des cas suivants. 1. Chaque membre de l’association accepte d’en faire partie. 2. Deux des femmes refusent d’en faire partie. 3. Monsieur X et Madame Y refusent de siéger ensemble. Exercice 1.8.Démontrer les égalités suivantes. n 1. X (n−k) = n(n+1) 2 . k=0 n 2. X (k  ( + 1) = n)(+1 2 n+ 2) . k=0 n 3. X (2k+ 1) = (n+ 1) 2 . k=0 Exercice 1.9.Démontrer les égalités suivantes. n 1. X 2 k = 2 n+1 −1. k=0 n−1 2. X 2 k = 2 n −2. k=1 2n X −1 2 k/ 2 n − − 1 1 . 3. k 2 =0 = √ 2 2n 4 2n+1 −1 4. X 2 2k−1 6 =. k=0 n 5. X 2 k 3 n−k = 3 n+1 −2 n+1 . k=0 n n+1 6. X (−1) k 2 n−k 2 = n+1 − 3 (−1) . k=0 Exercice 1.10.Démontrer les égalités suivantes.

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1. k= n X 0  n k  = 2 n . 2. k= X n 0 (−1) k  k n  = 0. 3. n k X =0  2 2 k n  = 2 2n−1 (ajoutez les deux égalités précédentes). n 4. X 2 k n k=0  k  = 3 n . 5. k X n = 2 3k−1  n k  = 9 n /2. 0 6. k= X n 0 2 3k 3 n−2k  n k  = (17/3) n . 7. X iπ/4 . k n =0 i k  k n  = 2 n/2 e n n 8. X 3 k/2 i k n e niπ/3 . k=0  n k  = 2 Exercice 1.11.Mettre sous la formea+ ibles nombres complexes suivants. 3 + 6i 5 + 2i− + 2i2 1 3−4i , 1−2i , 1−i √ 3 , 1−2i ,  2 1 −i i+  2 3 i6++32 + i52−5i
1 + i− 1 √ i+ 3(1−i) ! 2 . −4i , 1−1+i + i , Exercice 1.12.Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants. 1 + i,3 + 3i,1 + i √ 3,−1 + i √ 3, √ 3 + i,− 3 i 4 ,1 + i(1 + √ 2),(1 + √ 2)−i. Exercice 1.13.Mettre sous la formea+ ibles nombres complexes suivants. π/3 iπ/8 2e 2iπ/3 ,3e iπ/8 ,2e −7i ,3e −7 , e iπ/4 − (2e iπ/4 )(e 3iπ/4 ), e 2 −3iπ/4 e iπ/3 (2e iπ/3 )(3e −5iπ/6 ), 3e 2 −5iπ/6 9

Exercice 1.14.Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle. 1 + i 1 1 −i i+ ,  1−i  3 ,(1 + i √ 3) 4 (1 + i √ 3) 5 + (1−i √ 3) 5 , 1 + i √ 3 √ 6−i √ 2 √ 3−i , 2−2i Exercice 1.15.Calculer les racines carrées des nombres suivants. −1,i,1 + i,−1−i,1 + i √ 3 3 + 4i,8−6i,7 + 24i,3−4i,24−10i Exercice 1.16. 1. Calculer les racines carrées de(1 + i)/ √ 2. En déduire les valeurs decos(π/8)et sin(π/8). 2. Calculer les racines carrées de( √ 3 + i)/2. En déduire les valeurs decos(π/12)et sin(π/12). Exercice 1.17.Résoudre dansCles équations suivantes. z 2 +z+ 1 = 0, z 2 −z+ 1 = 0, z 2 + 2z+ 4 = 0, 4z 2 −2z+ 1 = 0, z 2 + (1 + 2i)z+ i−1 = 0, z 2 −(3 + 4i)z−1 + 5i = 0, z 2 + 4z+ 5 = 0, z 2 −(1−i)z−i = 0, z 2 −(11−5i)z+ 24−27i = 0, z 3 = i, z 3 = −1 4 i+ , z 3 = 2−2i, z 4 = 1, z 4 = (−1 + i √ 3)/2,  2z z− 1+ 1  4 = 1. Exercice 1.18.Soitθun réel. n n n 1. Calculer la somme X e ikθ . En déduire les valeurs de X cos(kθ)et X sin(kθ). k=0k=0k=0 2. Calculer la somme k= X n 0  n k  e ikθ . En déduire les valeurs de n k X =0  n k  cos(kθ)et k= X n 0  n k  sin(kθ). Exercice 1.19.Linéariser : cos 3 (x),sin 3 (x),cos 4 (x),sin 4 (x), cos 2 (x) sin 2 (x),cos(x) sin 3 (x),cos 3 (x) sin(x), cos 3 (x) sin 2 (x),cos 2 (x) sin 3 (x),cos(x) sin 4 (x).

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Exercice 1.20. 1. Déterminer l’ensemble des complexesztels que(1−z)/(1−iz)soit réel. 2. Déterminer l’ensemble des complexesztels que(1−z)/(1−iz)soit imaginaire pur. 3. Déterminer l’ensemble des complexesztels que les points d’affixe1,z,1 +z 2 soient alignés. 4. Déterminer l’ensemble des complexesztels que les points d’affixez,iz,iforment un triangle équilatéral. 5. Déterminer l’ensemble des complexesztels que les points d’affixez,z 2 ,z 3 forment un triangle rectangle au point d’affixez. 6. Déterminer l’ensemble des complexesztels que les points d’affixez,1/z,1−z soient sur un même cercle, de centre l’origine. Exercice 1.21. 1. Montrer que(1 + i) 6 =−8i. 2. En déduire une solution de l’équation(E)z 2 =−8i. 3. Ecrire les deux solutions de(E)sous forme algébrique, et sous forme exponen- tielle. 4. Déduire de la première question une solution de l’équation(E 0 )z 3 =−8i. 5. SoitAle point d’affixe2i. SoitBl’image deApar la rotation de centreOet d’angle2π/3. SoitCl’image deBpar la même rotation. Ecrire les affixes des pointsBetCforme exponentielle, puis sous forme algébrique., sous 6. Vérifier que les affixes calculées à la question précédente sont solution de(E 0 ). 7. Montrer que le triangleABCest équilatéral et queOest son centre de gravité. Exercice 1.22.On notejle nombre complexee 2iπ/3 . On posea= 8,b= 6jetc= 8j 2 . On noteA,BetCles points d’affixes respectivesa,betc. On note •A 0 l’image deBpar la rotation de centreC, et d’angleπ/3 •B 0 l’image deCpar la rotation de centreA, et d’angleπ/3 •C 0 l’image deApar la rotation de centreB. et d’angleπ/3 On notea 0 ,b 0 etc 0 les affixes respectives deA 0 ,B 0 etC 0 . 1. Calculera 0 ,b 0 etc 0 . 2. Montrer que les droitesAA 0 ,BB 0 etCC 0 sont concourantes en0. 3. Montrer quej 3 = 1et1 +j+j 2 = 0 4. Soitzun nombre complexe quelconque. Montrer que |(a−z) + (b−z)j 2 + (c−z)j|= 22 5. On admet que quels que soient les nombres complexeszetz 0 ,|z+z 0 |6|z|+|z 0 |. Montrer que la somme de distancesM A+M B+M Cest minimale lorsque M=O.

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