1ère épreuve de mathématiques 1999 ISFA

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Publié le : lundi 5 mars 2007
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I. S. F. A. _________
1999-2000 _________
 Concoursd'Entrée  _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Le problème proposé porte sur l'étude de certaines propriétés des minimun des fonctions +∞q mxm f(x)q est un entier et f(x) une fonction positive. La notation Idx oùA(x) désigne la fonction qui prend −∞ la valeur 1 si xA et 0 sinon. La rédaction a été conçue pour que les parties A , B et C soient très largement indépendantes. Seules les questions B-6° et C-4° utilisent les notations et certains résultats de la partie A. - A -Soit f une fonction réelle à valeurs réelles positives, continue et dont le support {x / f(x)>o} est un intervalle borné ou non et non vide. +∞ n On suppose que les intégralesI=absolument convergentes pour tout entier n positif ou nul et quex f(x)dx sont n −∞ +∞ l'intégrale I=est égale à 1.f (x)dx 0 −∞ +∞ 2 1°) Onnoteϕ(m) l'intégrale(xm) f(x)dx . −∞ a -Montrer queϕ(m) existe pour tout réel m. +∞ b -Montrer que la fonction m→ ϕ(m) est dérivable en tout point m et a pour dérivée : 2(mx)f (x)dx . −∞ c -En déduire qu'il existe un unique réel (noté m2) tel que, pour tout réel m, on ait :ϕ(m )≤ ϕ(m).Donner 2 l'expression dem àl'aide de l'intégraleI . 2 1 +∞ 2°) Onnoteψ(m) l'intégralexm f (x)dx . −∞ a -Montrer queψ(m) existe pour tout réel m. b -Montrer que la fonction m→ ψ(m) estdérivable en tout point m. (on pourra écrireψ(m) sousla forme: mψ(m)=(mx)f (x)dx+(xm)f (x)dx ) −∞m c -En déduire qu'il existe un unique réel (notém )solution de l'équation : 1 m  f(x)dx=1/ 2et tel que, pour tout réel m, on ait :ψ(m )≤ ψ(m).1 −∞ +∞ 2p 3°) Onnote, pour p entier strictement positif,ϕ(m)l'intégrale (xm) f(x)dx etψ(m) l'intégrale p p − ∞ +∞2p1 x(x)dx .m f − ∞ a -Montrer queϕ(m)etψpour tout réel m.(m) existent p p
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 2 b -Montrer que les fonctions m→ ϕ(m) etm→ ψindéfiniment dérivables en tout point m.(m) sont p p
'' Donner l'expression de leurs dérivées premières et secondes. Vérifier queϕ(m)=2p(2p1)ϕ(m) et p p1
'' ψ(m)=(2p1)(2p2)ψ(m) p p1 c -En déduire que, pour tout entier q positif, il existe un unique réel (notém )qui minimise la fonction : q +∞q mx(x)dx .m f −∞ - B -x n t t edt 0 1°) Pourn entier naturel et x réel positif on noteF (x)l'expression . n n! Montrer que l'équationF (x)=1 admetune solution unique. On noteu cettesolution. n n Calculer uet u. 0 1 n+1 xn+1 x e×x 2°) Montrerl'inégalité :F (x)n (n+1)! (n+1)! En déduire successivement : n+1 un+1 n u e×u n n a -1(n+1)! (n+1)! 1 /(n+1) b -u[(n+1)!]n+1 n /(n1 1+1) c -e×[(n+1)!]u n n tn+1 t t et e 3°) Montrerque pour t[0,n+1] on a)F (u. En déduire>1 puisla croissance stricte de la n n+1 n! (n+1)! suite {u,nN}. n n+1p 4°) Montrerque, pour p et n entiers et tels quepn+1, on a(n+1)!p .Endéduire par un choix judicieux de l'entier p que la suite {u,nN} tends vers +quand n tends vers +. n 2p1x 5°) a- Soitm un réel tel que(mdxx) e=0 . 0
Vérifier que le réel m est égal au termeude la suite {u,nN}. 2p1n
(Indication : On pourra décomposer l'intégrale ci-dessus en somme d'une intégrale de 0 à m et d'une intégrale
∞ ∞ nt nt de m à +, introduire l’intégralet edt etutiliser te dt=n! ) 00
m2px 2px b -Soit m un réel tel que(mx) e dx=(x.m) e dx 0m
Montrer que le réel m est égal au termeu dela suite {u,nN}. 2pn * 6°) Etablirun lien entre les termes de la suite {u,n, qN} et les termes de la suite { mintroduite dans laN } nq x partie A et associée à la fonctionxf (x)=(x)e I + R
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 3 - C -Soit a un réel strictement positif et g une fonction continue définie sur le segment [0,a] telle que pour tout entier naturel a n n l'intégralet g(t)dtsoit nulle. On se propose de démontrer que la fonction g est nulle. 0 k u k 1°) Pourp entier naturel on poseh (u)=(1) .Montrer, pour u positif et pour tout p les inégalités pk! k=0,.., p 2p+1 u uu h (u)eh (u)e, puis l'inégalitéh (u). 2p+2p1 2p (2p+1)! 2 2 a n (tx) 2°) Déduirede 1°) que, pour n entier naturel et x réel, l'intégraleest nulle.e g(t)dt 0 3°) Soitx]0,a[ et {α, nN } une suite de réels positifs de limite nulle. n a -Montrer qu'il existe un entier n0tel que, pour n supérieur à l'entier n0, on ait :[x− α, x+ α][0, a] . n n b -Pour n>n0on note: 2 2 x+ α nn (tx)  vl'intégrale eg(t)dt n x− α n 2 22 2 x− αa nn (tx)n (tx)  wla sommee g(t)dt+e g(t)dt. ∫ ∫ n 0 x+ α n Avec un choix judicieux de la suite {α, nN } montrer que on peut avoir : n 2 u 2g(x) edu 0  (i)si g(x) est non nulv équivalentquand n tend versàn n  (ii)w majoréparλe oùλne dépend pas de l’entier n. n c -Conclure que la fonction g est égale à la fonction nulle. 4°) Onreprend les notations de la partie A. a -Montrer que, si la fonction f présente une symétrie par rapport à un réelµ(pour tout x , f(µ-x)=f(µ+x)) la suite { m, nN } est constante et égale àµ. n b -On suppose ici que la fonction f est à support borné et on fait l'hypothèse que la suite {m ,nN }est n constante. On noteµcette constante. (i) Onnote f* la fonction définie par :xf (x)=f (x+ µ) Montrer que la suite { m, nN } associée à la fonction f* est la suite nulle. n  (ii)On suppose pour cette question queµest nul. Montrer que la fonction f peut se décomposer d'une unique manière en somme d'une fonction paire (notée p) et d'une fonction impaire (notée i). Montrer que l'hypothèsem =0implique n n t i(t)dt=0 . 0 (iii) Déduirealors que la fonction f présente une symétrie par rapport au réelµ.
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