2ème épreuve de mathématiques Option A 1998 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option A 1998. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option A 1998 sur Bankexam.fr.
Publié le : lundi 5 mars 2007
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1°- On posep=nk+1et on notetle PGCD depetk, etsle quotient entier dekpart. Montrer que :
I. S. F. A. _________
Concours d'Entrée _______________
Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. Les trois exercices proposés sont indépendants. EXERCICE1 (ALGEBRE) Le but de cet exercice est de déterminer tous les couples d’entiers( n,k )satisfaisant :
k k1 (1)C=Cpournk1. n n+1
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________
1998
1998-1999 _________
EXERCICE2 (SERIES DEFOURIER ET INTEGRATION) 2π 1 1°- Soitf unefonction à valeurs réelles définie et de classeCsur[0,2π]que tellef ( t )dt=0. En utilisant le 0 développement en série de Fourier des prolongéesà3 ,2périodique, des fonctionsf etf’ montrerl’inégalité de Wirtinger : 2π2π ' 22 f (s )dsf(s)ds. ∫ ∫ 0 0 Que peut-on dire pourf lorsqu’il y a égalité ?
2°- Soit( s,t )un couple d’entiers naturels satisfaisant 2 (2)t+1=s(s+t) ,t>1s>1 ,. v  11 tMontrer que le couple( u ,v )défini par=vérifie aussi :     us1 2     2 v+1=u(v+u)0<v<t .0<u<s et 3°- En déduire que si(s,t) est un couple d’entiers naturels strictement positifs satisfaisant (2), il existe un entier naturel mtel que : m t 2 1 1=.     s 11 1     4°- Déterminer alors l’ensemble des couples( n, k )solutions de (1).
2 2 p=tett+1=s( t+s )
2°- SoitΓles points d’un arc simple (c’est-à-dire sans 2 point double) fermé de classeC, de longueur2π, entourant un domaineV d'unplan affine euclidienP. On choisitA etB deuxpoints distincts deΓsorte de j G queABpasse par le centre d'inertie G deΓ. On note0  un point du segment [AB] et, j )( 0,irepère un Oi orthonormé direct avecj colinéaireàB .Enfin on (Γ) noteγ:[0,2π]Γla paramétrisation deΓpar l’arc longueur orienté positivement ; et parf etg les   composantes dedans le repère( 0,i, j ). 2 π Du fait queBpasse parGon af ( s )ds=0. (On ne demande pas de justifier cette égalité : c’est elle qui motive le 0 choix du repère). On noteA(V)l’aire deVetg(Γ)la longueur deΓ(doncg(Γ)=2π) justifier les égalités : 2π A(V )=f ( s )g' ( s )ds0 2π2π 2 22 g(Γ)2 A(V)=( f(s)f(s)) ds+( f( s )g' ( s ))ds. ∫ ∫ 0 0 2 En déduire queg(Γ)4π×A(V). Montrer que cette inégalité reste vraie même sig(Γ)est quelconque. Que peut-on dire en cas d’égalité ? EXERCICE3 (CALCUL DIFFERENTIEL) n On rappelle qu’une partieCdeest dite convexe si pour tout couple( x, y )de points deCet toutλ∈[0,1]le point λx+(1λ)yappartient encore àC. Une applicationf deCdans3est dite convexe si pour tout( x, y,λ)on a l’inégalité :définis précédemment f(λx+(1λ)y)λf(x)+(1λ)f(y). L’opposé–f d’une fonction convexefest dite concave. p1 1°- Montrer que sif est une application convexe deCdans3etg une application linéaire dedans,g (C )p1 est une partie convexe deetfog une application convexe deg (C )dans3. n Montrer que sifest une application convexe surUun ouvert convexe deet sifest différentiable surU, l’on a, pour tout couple( x, y )de points deU: < ∇f(x), yx> f(y)f(x), n f(x) désignele vecteur gradient def enx et<,> leproduit scalaire usuel de(Considérer .fle segment sur S={x+t(yx) t[ 0,1]}) . [x,y] Dans ce cas que peut-on dire def ( x)six0est un point critique def surU(c’est-à-dire satisfaisantf ( x)=0) ? 00 1998
2°- Poura constante strictement positive on définit : 12 1 u (x ,x )= − 21 1 a a+x 1 1 a+(xx ) 2 1 2  . 2 11 u (x ,x )= − 2 12 a a+1x 1 2 a+(xx ) 2 1 2
En appliquant la question 1, montrer queu etudes fonctions concaves sur l’ensemble sont 1 2 2 {(xx ,)x>x2a ;x> −a ; x<1+a}. 1 22 11 2 3°-Justifier l’existence du maximum de la fonctions( x, x)=u (x ,x )+x )x ,u ( surl’ensemble 1 21 1 22 12 12 D=( x, x)x[ ,1]; x[0, x]. Déterminer le point( x, x)où ce maximum est atteint. 22 11 21 2 2   1 4°- La constantea est maintenant strictement comprise entre0et( 2+1 ). 2 1 Pour chaquex[ ,1]déterminer le maximum de la fonction fixé,x ,u (x ) etle pointx[ 0, x] oùil est 2 11 21 2 2 obtenu. On détermine ainsi une fonctionx=ϕ( x). 1 12 1 De même déterminer pour chaquex][ 0,de la fonction le maximumx )x ,u (et le pointx[ x,1]où il 1 21 22 1 2 est obtenu. On détermine ainsi une fonctionx=ϕ( x). 2 21 5°- Représenter sur un même dessin dans le cas oùa=1 les graphes des fonctionsϕetϕ. 1 2 ∗ ∗ Déterminer les coordonnées)( x, xdu point intersection de ces deux graphes lorsqueaest strictement compris entre 1 2 1 0et( 1+2 ). 2 6°-Application :Monsieur Gelati est marchand ambulant de produits de confiserie. Pendant la période des vacances il a l’habitude d’aller s’installer au beau milieu de la promenade qui longe la plage de Mondello. Celle-ci d’une longueur d’environ 1 km attire de nombreux estivants et le commerce est d’un bon rapport. Malheureusement pour Monsieur Gelati cette année arrive un concurrent Monsieur Zizani. Pendant une semaine tous les matins c’est la course pour occuper la position centrale et le second arrivant se trouve réduit à poser son stand à un endroit moins propice. Lassés de cette guerre qui les conduit à se lever de plus en plus tôt, les deux commerçants se rencontrent pour décider une fois pour toute de leur emplacement. Quel accord doivent-ilspasser entre eux pour que celui-ci ait des chances d’être respecté ? En supposant quex désignela position de Monsieur Zizani,x cellede Monsieur Gelati, en imaginant que 2 1 u (x ,x )mesure le profit quotidien de Monsieur Gelati (en fonction des positions respectives des deux concurrents) 1 1 2 etx )u (x , leprofit quotidien de Monsieur Zizani, expliquer (brièvement) pourquoi, x)( xla position à est 2 1 21 2 ∗ ∗ choisir si les 2 commerçants font caisse commune, et pourquoi), x( xla position à choisir s’ils veulent rester est 1 2 indépendants et adopter la règle : personne n’a intérêt à bouger tant que l’autre ne bouge pas.
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