2ème épreuve de mathématiques Option B 2001 ISFA

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Publié le : lundi 5 mars 2007
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I. S. F. A. _________
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrices autorisées.
PRECISIONS Question 6 c : prendre= 10%. Question 6 e : se placer dans l’application numérique Question 8 b : se placer dans l’application numérique avec=10% et r= 6%.
2001-2002 _________
Concours d'Entrée _______________
OPTION B ur0,1 ,ql On notera dans la suiteΦla fonction de répartition de la loi Normale standard N(0,1) et, poα ∈] [αe quantile d’ordreαde cette loi défini parΦ(q )= α.Pour les applications numériques, on pourra utiliser la table de la α fonctionΦdonnée en annexe ainsi que les quantiles suivants : α0,975 0,99 0,995 0,999: 0,90 0,95  q: 1,2821,645 1,9602,326 2,5763,030 α Un assureur dispose au 31/12/(n-1) d’un portefeuille de K contrats d’assurance du type "temporaire décès d’un an" dont le capital assuré, exprimé en KF, est uniformément égal à C. Un tel contrat prévoit qu’en cas de décès de l’assuré entre le 1/1/n et le 31/12/n, l’assureur verse le capital C au bénéficiaire du contrat. Si, par contre, l’assuré survit au 31/12/n, l’assureur est quitte de tout versement. En contrepartie de cet engagement de l’assureur, chaque assuré lui verse au 31/12/(n-1) une "prime". On suppose, pour simplifier, que les K assurés du portefeuille ont la même probabilité p de décéder dans l'année et que les décès surviennentindépendamment les uns des autres. Ce problème est consacré à l'analyse technique au 1/1/n du portefeuille, l'horizon étant le 31/12/n. Dans les applications numériques, on prendra K=1000, C=100 et p=0,1. 1°)pas subir de perte ? (on Quelle prime devrait demander l'assureur à chaque assuré pour être certain de ne négligera les frais de l'assureur). ième 2°)contrat (1La variable aléatoire Vdésigne le versement de l'assureur au titre du kkK) . k V k a) Montrer quesuit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre. En déduire les moyenneE(V )et k C écart-typeV .appelé la "prime pure" du contrat.) estP E(V σ(Vk) dek o=k K b) On noteS=Vkla "charge sinistres" de l'assureur pour l'année n. K k=1 S K Montrer qu'un théorème classique, que l'on citera, conduit à la convergence en probabilité devers P quand o K K tend verset commenter ce résultat à la lumière de la question 1.
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 2 c) A l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebitcheff, construire un intervalleI centrésur Ptel que 0 0 S K P(I )1− η1− ηest une probabilité fixée. 0 K d) Comment varie la longueur deI enfonction de K ? 0 Application numérique : expliciter l'intervalleI pour1− η =0, 95. 0 S K 3° )a) Donnerla "prime pure" globaleP=Expliciter la loi suivie par.et la variance deS .E(S ) K K C (1) On utilisera dans la suite l'approximation normale avec correction de continuitéde la loi de SK : x 1/2 + −E(SK)P(SKx)≈ Φ.   σ(SK)   x1/ 2E(S )K  b)En déduire l'approximationP(S<x)≈ Φ. K σ(S ) K n intervalleI centrés c) La probabilité1− ηétant fixée, à l'aide de cesapproximations construire u1ur PoS K e rsa longueur. tel quP(I1)1− ηet explicite K  d)Application numérique : donnerI pourec 11− η =0, 95et le comparer avI0. A partir de la question 4, on étudie la variable aléatoire SF situation financière du portefeuille au 31/12/n et la probabilité dite de ruineP=P(SF<0) . r
4°)P . Se basant sur 2°) b), l'assureur demande initialement à chaque assuré une prime égale à la prime pure o a) Exprimer la v.a.r. SF en fonction deS etde P .En déduire la probabilité de ruineP et sa limite quand K or K tend vers. Interpréter ce résultat. b) Application numérique : expliciter la valeur deP . r
5°) L'assureurdemande à chaque assuré une primeP P( avecun "taux de chargement" Πo=o+o=1+)Po 0. a) Exprimer la variable aléatoire SF en fonction deS ,P et. K o b) En déduire une valeur approchée de la probabilitéP etétudier les variations de celle-ci en fonction de. r c) Application numérique : expliciter la valeur deP poLa comparer à la précédente (4°) b)). rur=10%. d) L'assureur détermine une probabilité de ruine maximalede chargement acceptableε. Quel est le tauxmincompatible avec cette contrainte ? Expliquer pourquoi l'assureur recherche le taux minimum. e) Application numérique : que vauturε0.01 minpo=? f) La concurrence sur ce produit d'assurance ne permet pas un taux de chargement supérieur à undonné. A l'aide de l'approximation normale de la probabilitéP déduitede celle deS r K
1  La correction de continuité introduite dans l'approximation d'une loi entière améliore notablement celle-ci. 2001
α) Etudier ses variations en fonction de K β) Pourεfixé, ailleminimale Kminque doit avor déterminer la tir le portefeuille pour queP≤ ε. γ) Expliciter Kminpour p=0.1,=10%siε =0.01 .
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6°)La réglementation européenne impose aux sociétés d'assurance de constituer une "réserve affectée au risque". Celle-ci est un montant financier mobilisable par l'assureur pour faire face à des aléas contraires. R Soit R la réserve constituée par l'assureur pour le portefeuille décès ci-dessus etr=le ratio réserve à prime P pure correspondant. a) La situation financière du portefeuille au 1/1/n est R. Quelle sera-t-elle au 31/12/n ? Quelle est sa probabilité de ruineP etl'approximation normale de celle-ci ? r b) Etudier les variations de cette dernière en fonction de r. c) Application numérique : déterminer une valeur approchée deP pourr=6% . r d) La probabilité de ruine maximale acceptable par l'assureur étantε(r, ), déterminer les couples compatibles P avecr≤ ε. e) Préciser ces couples pourε =0, 01. 7°)Contre paiement d'une prime, l'assureur peut transférer une partie des risques du portefeuille à un réassureur, assureur des assureurs. La forme la plus simple de transfert, dite en quote-part, est définie par un nombre t dans0,1 , [ ] part des versements de sinistres laissés à la charge de l'assureur ? C'est aussi la part des primes versées par les assurés que celui-ci conserve. a) Exprimer la variable aléatoire. SF en fonction des paramètres, r et t. En déduire les expressions de la probabilité Pet une approximation de celle-ci. r b) Montrer que cette approximation est une fonction continue de t et étudier ses variations. terminer la valeur approchée deour10%, r6 c) DéPrp==% et t=50% . d) L'objectif de l'assureur est de conserver le maximum des primes versées par les assurés, celles-ci procurant des produits financt compatibleP iers. Déterminer la conservationmaxavecr≤ ε,εétant donné. e) Explicitert pour=10%, r=6% etε =0, 005. max 8°)L'assureur dispose d'un second portefeuille composé d'un même nombre K de contrats mais à capital assuré C'=10C etprobabilité de décès'=p /10 . On rappelle que le coefficient de variation cv(X) d'une variable aléatoire. X positive est défini par σ(X) cv(X)=σl'écart-type de X.(X) est E(X) a) Déterminer le coefficient de variation du versement de l'assureur pour un contrat du second portefeuille. Le comparer à celui afférent à un contrat du premier. b) On suppose que l'assureur ne fait pas appel à la réassurance et applique le même taux de chargement aux contrats des deux portefeuilles. Comparer leur probabilité de ruine. Commenter le résultat.
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 4 9°) Enréalité le portefeuille décès de l'assureur est constitué de "segments", un segment étant composé des assurés ayant même capital assuré et même probabilité de décès. Pour simplifier, on suppose le portefeuille composé de 4 segments correspondant au croisement de 2 valeurs de capital assuré,i = 1 et2 (exprimées en centaines de milliers de francs),et de deux probabilités de décès distinctes j rapq 1 (j = 1,2). On posej= −j(j = 1,2). Le segment(i, j)contientKcontrats au 1/1/n. ij Soit S la charge sinistres (ou montant cumulé des versements au décès) au cours de l'année n. On souhaite déterminer la loi de cette variable aléatoire a) Etant donné deux variables aléatoires de Bernoulli X et X' indépendantes de paramètres respectifs p et p', montrer que, si p et p' sont distincts, la somme X+X' ne suit pas une loi Binomiale. Quelle implication cela a-t-il quant à l'obtention de la loi de S ? b) Déterminer la loi de la variable aléatoirenombre de décès survenant dans le segment(i, j)au cours de ij l'année n. ij En déduire sa fonction gée nératricgNij(u)=E(u ). g '(u) s c) Exprimer S en fonction des. En déduire la fonction génératrice.g (u), ln(g (u)) et. ij ss g (u) s k 2 k 1pj+ d) On pose, pouri=1, 2et k1 ,A(i, k)=(1)×i×K . ij  q j=1 j   2+∞ 1 ik1 A l'aide du développement en série entière de, montg '(u) g(u) A(i,k rer ques=s)u . ∑ ∑ 1+x i=1 k=1 2(m) e) En utilisant la formule de dérivation à l'ordre nla relat de Leibnizet iongs(0)=m!P(S=m) (mIN) que l'on montrera, établir une formule récursive donnant pourx0P(Sla probabilité=fonction desx) en probabilités précédentes { P(S=0), P(S=1),..., P(S=x1) } f) En déduire une procédure d'obtention de la loi de S. ---
n 2(n )α(α) (n−α) Formule de Leibniz :(uv)=vC u n α =0 2001
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