a Pour tout réel x f1 x xe x

Publié par

Niveau: Secondaire, Lycée
EXERCICE 3 PARTIE A 1) a) Pour tout réel x, f1(x) = xe?x. Limite de f1 en ?∞. lim x??∞ x = ?∞ et lim x??∞ e?x = lim X?+∞ eX = +∞. Donc lim x??∞ f1(x) = lim x??∞ xe?x = ?∞. Limite de f1 en +∞. Pour tout réel non nul x, f1(x) = x ex = 1 ex/x . D'après un théorème de croissances comparées, on sait que lim x?+∞ ex x = +∞ et donc lim x?+∞ f1(x) = lim x?+∞ 1 ex/x = 0. lim x??∞ f1(x) = ?∞ et lim x?+∞ f1(x) = 0. b) La fonction f1 est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x, f ?1(x) = 1? e ?x + x? (?1)? e?x = (1? x)e?x. Pour tout réel x, e?x > 0 et donc pour tout réel x, f ?(x) est du signe de 1 ? x. Par suite, la fonction f ?1 est strictement positive sur ] ?∞, 1[ et strictement négative sur ]1,+∞[ puis la fonction f1 est strictement croissante sur ] ?∞, 1] et strictement décroissante sur [1,+∞[.

  • droites d'équations respectives

  • puisque lim

  • axe des abscisses

  • équation de tk

  • point de coordonnées

  • xe?x dx


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 37
Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
EXERCICE 3
PARTIE A
x 1) a)Pour tout réelx,f1(x) =xe. x Xx Limite def1en.limx=et lime=lime= +. Donclimf1(x) =limxe=. xxX+xxx 1 Limite def1en+.Pour tout réel non nulx,f1(x=) =. D’après un théorème de croissances comparées, on x x e e/x x e 1 sait quelim= +et donclimf1(x) =lim=0. x x e/x x+x+x+
limf1(x) =et limf1(x) =0. xx+
b)La fonctionf1est dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,
!xxx f(x) =1×e+x×(1)×e= (1x)e. 1 x! ! Pour tout réelx,0e >et donc pour tout réelx,f(x)est du signe de1x. Par suite, la fonctionfest strictement 1 positive sur], 1[et strictement négative sur]1,+[puis la fonctionf1est strictement croissante sur], 1]et strictement décroissante sur[1,+[. On en déduit le tableau de variations de la fonctionf1: x1+! f(x) +01 1 e f1 0 c)La courbeC1admet une tangente parallèle à(Ox)en son point d’abscisse1. La tangenteTkn’est pas parallèle à(Ox). L’entierkn’est donc pas égal à1ou encore l’entierkest supérieur ou égal à2. 2) a)Si un pointMappartient à toutes les courbesCn,n!1, alorsMappartient aux courbesC1etC2et donc son abscissexest solution de l’équationf1(x) =f2(x). Soitxun réel.
x 2xx 2xx f1(x) =f2(x)xe=x exex e=0x(1x)e=0 x x(1x) =0(care"=0) x=0oux=1.
Les courbesC1etC2ont exactement deux points communs, les points de coordonnées respectives(0, 0)(carf1(0) =0) et ! " 1 1 1,(carf1(1) =). Les courbesCn,n!1, ont donc au plus deux points en commun. e e n0 Réciproquement, pour tout entier naturel non nuln,fn(0) =0 e=0et donc le pointO(0, 0)appartient à toutes les courbesCn,n!1. ! " 1 1 n1 De même, pour tout entier naturel non nuln,fn(1) =1×e=et donc le point de coordonnées1,appartient e e à toutes les courbesCn,n!1. ! " 1 Les courbesCn,n!1, ont exactement deux points communs, les points de coordonnées(0, 0)et1,. e
b)Soitn!2. La fonctionfnest dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,
!n1x nx n1x nx n1x f(x) =nx e+x(1)e=nx ex e=x(nx)e. n
!2x! 3)En particulier, pour tout réelx,f(x) =x(3x)e. Donc, la fonctionfest strictement positive sur], 0[]0, 3[ 3 3 et strictement négative sur]3,+[puis la fonctionf3est strictement croissante sur], 3]et strictement décroissante sur[3,+[. La fonctionf3admet donc un maximum atteint enx=3. !1!k111 4) a)Soitk!2. Une équation deTkesty=fk(1) +f(1)(x1)avecfk(1) =eetf(1) =1(k1)e= (k1)e. k k
4
k1 2k 11 Une équation deTkest doncy=e+ (k1)e(x1)ou encorey=x+. Ensuite, e e k1 2k 1k2 x+ =0((k1)x(k2)) =0(k1)x(k2) =0(k1)x=k2x=. e ee k1 ! " k2 Donc la tangenteTkcoupe l’axe des abscisses au pointAkde coordonnées, 0. k1 b)Soitk!2. k2 4 Ak=A=5(k2) =4(k1)5k4k=104k=6. k1 5 k=6.
PARTIE B $ 1 xx 1)On aI1=xe dx. Pourxdans[0, 1], posonsu(x) =xetv(x) =e. Les fonctionsuetvsont dérivables sur 0 [0, 1]et pourxdans[0, 1], on a
u(x) =x ! u(x) =1
x v(x) =e !x v(x) =e
! ! De plus, les fonctionsuetvsont continues sur[0, 1]. On peut donc eectuer une intégration par parties et on obtient
$ $ 1 1 # $1 xxx I1=xe dx=x(e)1(e)dx 0 0 0 $ 1 # $ 1 1x1x11 0 = (e)(0) +e dx=e+e=ee+e 0 0 e2 1 =12e=. e
e2 1 I1=12e=. e
2) a)Puisque chaque fonctionfnest continue et positive sur[0, 1],Inest l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine du plan compris entre l’axe des abscisses, la courbeCnet les droites d’équations respectivesx=0etx=1. D’après le graphique, il semblerait que la suite(In)n!1soit décroissante. b)Soitn!1.
$ $$ 1 11 n+1x nx n+1x nx In+1In=dxx ex edx= (x ex e)dx(par linéarité de l’intégrale) 0 00 $ 1 nx =x(x1)e dx 0 nx nx Pour tout réelxde[0, 1], on ax!0,x1"0ete!0. Donc pour tout réelxde[0, 1], on ax(x1)e"0. Par $ 1 nx croissance de l’intégrale, on en déduit quex(x1)e dx"0ou encore queIn+1In"0. 0 On a montré que pour tout entier naturel non nuln,In+1"Inet donc
la suite(In)n!1est décroissante.
c)D’autre part, chaque fonctionfn,n!1, est positive sur[0, 1]et donc, par positivité de l’intégrale, pour tout entier naturel non nuln, on aIn!0. En résumé, la suite(In)n!1est décroissante et minorée par0. On en déduit que la suite(In)n!1est convergente. x 0x d)Soitn!1. Pour tout réelxde[0, 1], on ax"0et donc0"e"eou encore0"e"1. En multipliant les trois n nx n membres de cet encadrement par le réel positifx, on obtient0"x e"x. Par positivité et croissance de l’intégrale, on en déduit que
5
$ $ 1 1 nx n 0"x edx"x dx 0 0 $% &1 1 n+1 n+1 n+1 x 10 1 n avecx dx= ==. Ainsi, pour tout entier naturel non nuln, n+1 n+1 n+1 n+1 0 0 1 0"In". n+1 1 Puisque lim=0, le théorème des gendarmes permet d’armer que n+1 n+
limIn=0. n+
6
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.