Aborder des problèmes avec la calculatrice graphique Fx CG20

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Aborder des problèmes avec la calculatrice graphique Fx-CG20 Par Jean-Philippe Blaise Book-A4-Fx-CG20-Couv 23/02/12 jeudi 23 février 201215:41 Page1

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  • monde de l'origami

  • réponse unique

  • manuel de prise en main de la calculatrice

  • représentation graphique


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 104
Source : casio-education.fr
Nombre de pages : 96
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Book-A4-Fx-CG20-Couv 23/02/12 jeudi 23 février 201215:41 Page1
Aborder des problèmes avec
la calculatrice graphique Fx-CG20
Par Jean-Philippe Blaise
www.casio-education.frBook-A4-Fx-CG20-Couv 23/02/12 jeudi 23 février 201215:42 Page2Edito
Modélisations et ruptures
Ou comment avoir plusieurs solutions justes mais différentes
à un même problème
Dans ce manuel dédié à l’utilisation de la calculatrice graphique Fx-CG20, j’ai voulu mettre en
avant divers problèmes qui permettent de balayer les possibilités techniques et mathématiques de
ce formidable outil.
Pour laisser la possibilité de se positionner personnellement dans les différents exercices, les solu-
tions ne sont que partiellement formulées. Il restera ainsi au lecteur à s’approprier les problèmes
ainsi que leurs démonstrations.
Le but n’est pas de proposer un manuel de prise en main de la calculatrice, ni un manuel de résolu-
tions mathématiques formalisées, mais de créer l’envie d’entrer dans cette belle aventure qu’est la
résolution d’une question mathématique ouverte.
L’idée principale reste de susciter l’envie et de créer la rupture entre un exercice classique de
mathématiques où la réponse exacte est unique, voire pré-formatée par des connaissances apprises
et digérées.
Ainsi, nous allons voir qu’il n’est pas forcément évident d’avoir une réponse unique et juste ! Le
paradoxe de Bertrand va nous conduire dans un domaine d’espaces probabilisés où chacune des
réponses sera exacte et pourtant différente de la précédente.
Le travail autour du pavage turc va nous conduire à changer de registre : au lieu de résoudre un
problème en le modélisant géométriquement, nous allons l’exporter dans le monde de l’origami.
Encore une fois : pas de bonne réponse unique mais deux visions d’un même énoncé pour deux
modèles cohérents.
Au travers de quelques problèmes historiques, nous allons souligner le fait qu’un modèle peut
s’avérer faux ultérieurement comme pour l’approximation de π utilisé dans le papyrus Rhind ou
encore l’utilisation d’une parabole pour représenter une chaînette, sans que cela ne nuise à une
réponse approchée souvent suffsante pour résoudre un questionnement.
Devrons-nous considérer la méthode d’Euler de la même façon à la fn de cette lecture ?
Pourrions-nous imaginer les notions de probabilité du même œil après avoir constaté notre
impossibilité à choisir le bon modèle ?
Devrions-nous continuer à nous limiter à la mathématique ou utiliser la mécanique pour nous sortir
d’une impasse ?
Pourrions-nous retrouver dans une mosaïque la méthode des bâtisseurs d’antan ?
A vous de conclure…
Mathématicalement,
Jean-Philippe BLAISE
CASIO Éducation
11 1Sommaire
Chapitre 1 : Méthode d’Euler et fonction exponentielle 3
Chapitre 2 : Papyrus Rhind et π, une idée de quadrature du cercle 12
Chapitre 3 : Paradoxe et probabilité 19
Chapitre 4 : Pavage Dionysos 36
Chapitre 5 : Parabole ou équation de la chaînette 51
Annexe 1 : Origami et tangente 66
Annexe 2 : Pliage d’une grue traditionnelle en origami 74
Annexe 3 : Cocotte en papier, pliage double épaisseur 77
Annexe 4 : Un algorithme célèbre, l’algorithme d’Euclide 80
Annexe 5 : Approximation du nombre e par une suite 88
2 3

Méthode d’Euler et fonction exponentielle



Cherchons à retrouver la fonction exponentielle en utilisant la méthode d’Euler.

On cherche à représenter une fonction f égale à sa dérivée avec comme condition initiale : f(0)=1.
Puis, vérifions que la représentation correspond à celle de la fonction :



Un travail pas à pas au tableur ( )



Le but est de dessiner pas à pas la représentation graphique d’une fonction étant égale en tout point à sa
dérivée. Pour ce faire, nous pouvons utiliser la méthode d’Euler :

Soit f la fonction à représenter. On a :

( ) ( )
( )

Soit si h est relativement petit :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
2 3On peut calculer différentes valeurs de cette fonction en utilisant le tableur de la calculatrice.




Créons une nouvelle feuille de calculs (FILE, NEW).



La colonne A représentera les abscisses à calculer. La colonne B sera l’approximation de l’image de la
fonction f par la méthode d’Euler et la case C1 nous donnera le pas choisi (petit h).



La commande FILL permet de remplir plusieurs cases directement avec une formule sans avoir besoin de
faire un grand nombre de copier/coller. Pour que le pas visible en C1 ne soit pas incrémenté, il suffit
d’utiliser les $ qui fixe la colonne C ainsi que la ligne 1.

4 5

Idem, pour la colonne B. On copie la formule =B 1*$C $1+B 1 dans les 100 premières lignes.



Définissons un type de graphique xyLine pour représenter la fonction ainsi approximée.



Il est possible dès lors de la comparer à la fonction exponentielle (DefG).


4 5
Il est visible qu’avec le pas choisi (h=0.1), le calcul s’éloigne rapidement de la fonction à trouver.



Changeons le pas (h=0.01). L’utilisation du tableur est agréable car, aucun calcul n’est à refaire. Le fait de
travailler sur une case fait automatiquement recalculer toutes les différentes cases définies.



On trouve une fonction qui nous semble « parfaitement » proche de la fonction exponentielle.




Travaillons avec le même pas (h=0,01) et étendons le calcul à 250 valeurs pour chercher la rupture.
La courbe calculée avec la méthode d’Euler semble concorder avec la fonction exponentielle au moins d’un
point de vue visuel.

6 7

Demandons à la calculatrice, de calculer la représentation graphique (CALC) ainsi dessinée.
On retrouve une forme proche pour b du nombre e.



x
Par contre en zoomant entre la fonction e et la « régression » calculée, une différence apparait.

Il parait logique que la méthode d’Euler soit précise à condition de se limiter à un intervalle de confiance
dépendant autant de la grandeur du pas choisi que du nombre d’itérations à fournir.





6 7Un travail autour des tangentes


Soit f la fonction :


Intéressons-nous au fait qu’elle soit égale à sa dérivée. Et, visualisons ce que cela représente.



xAmusons-nous à faire calculer le nombre dérivé de e en chaque point et superposons les deux graphiques.
Comme f est en tout point égale à sa dérivée, il semble logique que nous retrouvions deux représentations
graphiques qui se superposent.



Notons qu’il est possible de définir dans le mode graphique, une fonction dont la définition fait intervenir
une autre fonction. La notion de nombre dérivé est parfaitement gérée par la calculatrice.
8 9

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