ACCALAUREAT GENERAL Session 2005 MATHEMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE - Session 2005

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Session 2005 BACCALAUREAT GENERAL Session 2005 MATHEMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1 à 6. 1

  • specialite durée de l'épreuve

  • droite ∆ d'équation

  • cercle privé

  • calculatrice électronique de poche

  • figure jointe en annexe

  • droite ∆

  • nature du quadrilatère bfde

  • réponse inexacte

  • plan complexe


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 199
Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 6
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BACCALAUREAT GENERAL
Session 2005
MATHEMATIQUES Série S
Session 2005
ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1 à 6.
1
EXERCICE 1 (4 points )
Commun à tous les candidats
Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, l a note de l'exercice est ramenée à 0.
1)Dans le plan complexe, on donne les pointsA,BetCd'affixes respectives2 + 3i,3iet 2,08 + 1,98i. Le triangleABCest :
(a): isocèle et non rectangle (c): rectangle et isocèle
(b): rectangle et non isocèle (d): ni rectangle ni isocèle
z4i ′ ′ 2)A tout nombre complexez6=2, on associe le nombre complexezdéfini par :z=. z+ 2 L'ensemble des pointsMd'affixeztels que|z|= 1est :
(a): un cercle de rayon1 (c): une droite privée d'un point
(b): une droite (d): un cercle privé d'un point
3)Les notations sont les mêmes qu'à la question 2). L'ensemble des pointsMd'affixeztels quezest un réel est :
(a): un cercle (c): une droite privée d'un point
(b): une droite (d): un cercle privé d'un point
4)Dans le plan complexe, on donne le pointDd'affixei. L'écriture complexe de la rotation de π centreDet d'angleest : 3  ! ! 1 33 11 33 1 ′ ′ (a):z=i z+i(b):z=+i z+i 2 22 22 22 2  ! ! 1 33 11 33 1 ′ ′ (c):z=i z− −i(d):z=i z+ +i 2 22 22 22 2
2
EXERCICE 2 (6 points )
Commun à tous les candidats
Le graphique de l'annexe sera complété et remis avec la copie. Soit la fonctionfdéfinie sur l'intervalle[0; 2]par
2x+ 1 f(x) =. x+ 1
1)Etudier les variations defsur l'intervalle[0; 2]. Montrer que six[1; 2]alorsf(x)[1; 2].
2)(un)et(vn)sont deux suites définies surNpar : u0= 1et pour tout entier natureln,un+1=f(un). v0= 2et pour tout entier natureln,vn+1=f(vn). a)Le graphique donné en annexe représente la fonctionfsur l'intervalle[0; 2]. Construire sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites(un)et(vn)en laissant apparents tous les traits de construction. A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites(un)et(vn)? b)Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que : Pour tout entier natureln,1vn2. Pour tout entier natureln,vn+1vn. On admettra que l'on peut démontrer de la même façon que : Pour tout entier natureln,1un2. Pour tout entier natureln,unun+1. vnun c)Montrer que pour tout entier natureln,vn+1un+1=. En déduire que pour (vn+ 1)(un+ 1) 1 tout entier natureln,vnun0etvn+1un+1(vnun). 4   n 1 d)Montrer que pour tout entier natureln,vnun. 4 e)Montrer que les suites(un)et(vn)convergent vers un même réelα. Déterminer la valeur exacte deα.
3
EXERCICE 3 (5 points )
Commun à tous les candidats
Soitfla fonction définie sur l'intervalle[0; +[par x f(x) = (x1)(2e). Sa courbe représentativeCest tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2cm). 4
1
3
2
1
1
2
3
1 1) a)Etudier la limite defen+. b)Montrer que la droiteΔd'équationy= 2x2est asymptote àC. c)Etudier la position relative deCetΔ.
′ ′xx 2) a)Calculerf(x)et montrer quef(x) =xe+ 2(1e). b)En déduire que, pour tout réelxstrictement positif,f(x)>0. c)Préciser la valeur def(0), puis établir le tableau de variations def.
2 3)primée en cm, du domaine plan limitéA l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire, ex par la courbeC, la droiteΔet les droites d'équationsx= 1etx= 3.
4) a)Déterminer le pointAoù la tangente àCest parallèle àΔ. b)Calculer la distance, exprimée en cm, du pointAà la droiteΔ.
4
EXERCICE 4 (5 points )
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l'exerci ce et remise avec la copie. On y laissera apparents les traits de construction.   π Dans le plan orienté, on donne le triangleABCtel queAB= 2,AC= 1 +5etAB, AC=. 2
1) a)Démonstration de cours: démontrer qu'il existe une seule similitude directeStransformant BenAetAenC. b)Déterminer le rapport et une mesure de l'angle deS.
2)On appelleΩle centre deS. Montrer queΩappartient au cercle de diamètre[AB]et à la droite (BC). Construire le pointΩ.
3)On noteDl'image du pointCpar la similitudeS. a)Démontrer l'alignement des pointsA,ΩetDainsi que le parallélisme des droites(CD)et (AB). Construire le pointD. b)Montrer queCD5= 3 +.
4)SoitEle projeté orthogonal du pointBsur la droite(CD). a)Expliquer la construction de l'imageFdu pointEparSet placerFsur la figure. b)Quelle est la nature du quadrilatèreBF DE?
5
1,5
1,0
0,5
O
Cette page sera remise avec la copie à la fin de l'épreuve
0,5
Annexe : exercice 2
1,0
1,5
Annexe : exercice de spécialité
C
A
B
6
2,0
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