Actes 24e Seminaire Lotharingien de Combinatoire

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Actes 24e Seminaire Lotharingien de Combinatoire, 17 (????) 77–85 Escaliers evalues et nombres classiques Guo-Niu HAN I.R.M.A., CNRS et ULP 7, rue Rene-Descartes F-67084 Strasbourg RESUME. — Nous etablissons une involution sur l'ensemble des couples composes d'un escalier et d'une application sur cet escalier. En utilisant cette involution, on retrouve directement plusieurs d'identites sur les nombres classiques et leurs variations. 1. Introduction Dans la theorie combinatoire des nombres de Genocchi, DUMONT [Dum] a introduit la notion d'application surjective excedante 1. Pour etudier les proprietes de symetrie trivariee des polynomes de Dumont-Foata, nous avons prolonge dans [Han] cette notion en etudiant les proprietes geometriques des escaliers evalues (ou escaliers gauches evalues). Il est remarquable de voir que si on choisit d'autres evaluations que celles qui etaient imposees par l'etude de ces polynomes, on retrouve un cadre geometrique commun pour l'etude de plusieurs familles de polynomes recemment introduits par DUMONT, FOATA, RANDRIANARIVONY et ZENG (cf. [DuFo], [DuRa], [RaZe]). En particulier, les proprietes pourtant tres classiques des nombres de Stirling de seconde espece trouvent une nouvelle jouvence dans ce contexte des escaliers evalues. Le but de ce memoire est de presenter une etude generale de ces objets et de donner toutes les evaluations utiles permettant de retrouver les resultats sur les differents polynomes derives des nombres classiques, Genocchi, Stirling, .

  • proprietes de symetrie trivariee des polynomes de dumont-foata

  • polynomes fn

  • remplissage correspondant

  • fn

  • formule

  • dumont

  • escalier


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Actes24eS´eminaireLotharingiendeCombinatoire,17() 77–85
Escaliers´evalu´esetnombresclassiques GuoNiu HAN I.R.M.A., CNRS et ULP 7,rueRene´Descartes F67084 Strasbourg
´ ´ RESUMEesnuslritnoovuledesemblN.´suosuoninneabetssli couplescompose´sdunescalieretduneapplicationsurcetescalier.En utilisantcetteinvolution,onretrouvedirectementplusieursdidentit´essur les nombres classiques et leurs variations.
1. Introduction Danslathe´oriecombinatoiredesnombresdeGenocchi,DUMONT[Dum] 1 a introduit la notion d’ateedanexc´tivejrcenousacitppil´etu.Pourdier lespropri´ete´sdesym´etrietrivarie´edespolynoˆmesdeDumontFoata, nousavonsprolonge´dans[Han]cettenotionene´tudiantlesproprie´t´es g´eom´etriquesdesse´ulave´sreilaesc(oue´ssee´avulchausgerlicaes). Il est remarquabledevoirquesionchoisitdautrese´valuationsquecellesqui e´taientimpose´esparl´etudedecespolynˆomes,onretrouveuncadre ge´om´etriquecommunpourl´etudedeplusieursfamillesdepolynoˆmes re´cemmentintroduitsparD,F,RetZ UMONT OATA ANDRIANARIVONY ENG (cfst´espourtparnotptrri`´eeilrel,sepnraitucZeRa.E])uR[D,[a]uD[.,]oF classiquesdesnombresdeStirlingdesecondeesp`ecetrouventunenouvelle jouvence dans ce contexte desva´ersiealscese´ul. Lebutdeceme´moireestdepre´senterune´etudege´n´eraledecesobjetset dedonnertoutesles´evaluationsutilespermettantderetrouverlesr´esultats surlesdi´erentspolynoˆmesde´riv´esdesnombresclassiques,Genocchi, Stirling,. . . Soientnk; un0 deux entiers escalierde hauteurket de longueur nuiesdtetienscerdtsene´mocinuemorsiastne E= (E1= 1, E2, . . . , En=k) telle queEi+1Eiou 1 pour tout= 0 i. L’ensemble des escaliers de hauteurket de longueurnot´eestnE(n, kreettˆeurplaeiencs)U. repr´esente´parlediagrammedeFerrersjusti´e`adroite(voirlexemple cidessous) en posant Diag(E) ={(i, j)|1in,1jEi}.
1 appele´plustardpistolesdans [DuVi].
1
2 Uneapplicationf: [n][k] est ditedansEsi 1f(i)Eipour touti[n]. Autrement dit, lediagramme{(i, f(i))|i[n]}defest un sousensemble de Diag(E) tel que toute verticale contient exactement un point du diagramme. Une applicationfest ditesurjectivesurEsi f[n] = [k]. Par exemple, l’escalierE= (1,1,2,2,2,2,3,4,4) est de hauteurk= 4 et de longueurnlacsetecenutereitpanivsuteenesr´L.de9=maemairg application surjectivefdans cet escalier :
Lesescalierspre´ce´demmentde´nissontaussiappel´es1escaliers. Pour 1 1 δ= 1,2,3, . . .pa`aer1seaciltrridnuEE(n, k), on construit, d’une δ δ fa¸conbijective,unδescalierEE(n, k) par δ E= (E1, E1, . . . , E1, E2, E2, . . . , E2, . . . , . . . , En, En, . . . , En) o`uchaqueEietsepe´r´te´δfois. Ceδescalier est encore dit dehauteurket delongueurn. Fixons maintenant l’entierδ. Par abus de langage, on ne reproduira pas cette lettreδe´osmriaibneuqdeieratoujosuorns´deetsud,δescaliers. Onremarquequilyaexactementunseule´le´mentdansE(n, kl´eappe), escalier ordinaireet´noetEOn`elalanougue.rlage´tseruetuahatlon,d Dans[Han](Lemme3.2),onadonne´uneinvolutiondanslecasou`δ= 2. Cellecipeutˆetrefacilementge´n´eralise´edanslecasge´n´eralcommesuit: ′ ′ Th´eor`eme1.Il existe une involutionΦ : (E, f)7→(fE , )sur l’ensemble Fn={(E, f)|E: un escalier de longueurn; f : une application dansE} ayantlespropri´ete´s: (C1)siE=EOnetfest surjective, alorsΦ(E, f) = (E, f); (C2)sinon, alors|hauteur(E)hauteur(E)|= 1.
Enfaisantintervenirlese´valuationssurlecouple(E, f), on retrouve plusieursdidentit´essurlesnombresclassiques:lesnombresdeStirling, les nombres factoriels centraux, les nombres de Genocchi et d’Euler ; ainsi que leurs variations.
2 Ce sont lestableaux 01laasemmˆhoec.sem,]eosiafennptiadans[DeL
2
2.Lesapplications´evalue´es On fixe encore l’entierδioctr´np´eecntdecemmosnadesal.eoSti A={a1, a2, . . . , aδ, b1, b2, . . . , bδ, x1, x2, . . . , xδ, y1, y2, . . . , yδ} un alphabet ou un ensemble de variables commutatives. On posea= a1a2. . . aδ. Unremplissageest un ensemble de mots en l’alphabetAde la forme ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ R= [b1b2. . . bδ[a1a2. . . aδ] ] [y1y2. . . yδ[x1x2. . . xδ] ] = [ba] [yx] quipermetdassociera`chaquecasedetoutescalierunelettredeA; plus pre´cis´ement,a`laidedeR, on remplit toutes les cases d’un escalierEpar les lettres deAegr`esnlvauissle:setnesol (R1) (yxx. . .x)s;leelbaduigel(cnenredre`iop)alru (R2) (baa. . .a) pour les autres lignes. Par exemple, pour le 2escalier (δ= 2)E= (1,1,1,1,2,2,2,2,3,3), le ∗ ∗ remplissageR= [b1b2[a1a2] ] [y1y2[x1x2donne le diagramme suivant :] ]
R=
y1
y2
x1
x2
b1 x1
b2 x2
a1 x1
a2 x2
b1 a1 x1
b2 a2 x2
Pour un remplissageRtaoxiavuldnlee´´ne´ot,ipletcouetounevd (E, f)Fnpar la formule n Y nk (1) ev(E, f) = (1)RE(i, f(i)), i=1 o`uREest la restriction du remplissageRl`alciaeersE, etkest la hauteur deEitaussilsceD.nalnuio`asdeasapyoisufnocrce´no,n ev(f) = ev(E, f). Dapre`slethe´ore`me1etlaconstructiondelinvolutionΦ,onve´rie facilementquelacondition(C2)danslethe´ore`me1peuteˆtreremplac´ee par la condition plus forte suivante : ′ ′ (C2 ) sinon, alors ev(E, f) =ev(fE , ). Cecide´montreler´esultatsuivant: The´ore`me2.psnoce´rede´setnAclvenoestita,ona: X X (2) ev(f) = ev(f), (E ,f)FnfSn o`uSnest l’ensemble des applications surjectives dansEOn.
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