Exercice 2.1. SoitEle’psevactoecelrispdenyloemoˆdeds´rge´erieinfu´egeurolaa`n,`oun est un entier naturel non nul. Pourλfieinlta’un,lno´donpplicatinonlee´ruλemlopuoˆnyquiaPdeE associelepolynˆome: uλ(P)(X=)21P(X) +λZ10P(t)dtX 1. Montrer queuλest un endomorphisme deE. 2. Pour quelles valeurs deλ,uλest-il un automorphisme deED?e´etmrnire −1 alors l’automorphismeuλ. 3.De´terminerlesvaleurspropresetlessous-espacepropresdeuλ. L’endomorphisme uλ ?est-il diagonalisable
Solution : 1. L’applicationuλommee,irean´listeon.Cratit´egl’ine´edratinie´aplr λZ10P(t)dtXeir´egedeuri´enflage´uorivli,1a`nuopetsmodeylˆnent: deguλ(P)6max(deg(P)1)6n, ce qui montre queuλest un endomorphisme deE. 2. SoitP∈Ker(uλ). →SiZ10P(t)dt= 0 ou siλ= 0, alorsuλ(P12)=P= 0 donneP= 0. iZ16= 0 et siλ6= 0, alor →SP(t)dtsuλ(P) = 0 donneP= 0 −2λZ10P(t)dtX, doncP(X) est de la formeαX, avecα=−2λ2α, et :
48 ESCP-EAP 2005 - Oral •Siλ6=−1,α= 0 etP= 0. •Siλ=−1,αest quelconque et Ker(u−1) = Vect(X). AinsiEntta´eemsnedidin:eoifin uλ∈GL(E)⇐⇒Ker(uλ) ={0}⇐⇒λ6=−1 Pourd´eterminerl’inversedeuλsoliti,ude´tirae´nilalsneuλ−1. Ainsi : P(X)1=2uλ−1(P) +λZ01P(t)dtuλ−1(X) Par ailleurs : uλ(X2=1)X+XλZ01t dt=λ12+X et donc, puisqueλ6=−1 :uλ−1(X) =λ1+2X. Finalement : − uλ1(P) = 2P+λ2+λ1XZ10P(t)dt 3.L’´equationuλ(P) =αPec’´tris α−12P(X) =λXZ01P(t)dt •Pourλ= 0, on a simplementu0(P=12)P, etu0e´itomht’lohetseedE derapport21.Toutpolynoˆmeestpolynˆomepropreassoci´ea`l’uniquevaleur propre21. •Supposons donc maintenantλ6= 0. •Pourα12.C=ommeλ6=0uiedat`´’l,auqenoit´resZ10P(t)dt= 0, donc e assoc 12estvaleurpropredeuλ i´e est le noyau deet le sous-espace propr l’applicati7→Z01P(t)dt. online´aireP Ce noyau est un hyperplan deE, donc est de dimensionn. •Siα6eL.21=eopylˆnmoPest donc de la formeP(X) =aXitaunolteqe´’ s’´ it ecr : 1 α−2aX=λX2a, soit :a= 0 sauf siα−12=λ. Ainsi,α=λemmocte(21+λ6= 0 on a bienα6vasturleopprasreicosee´)e12= au vecteur propreXdosteei´medidenc.1noisn.Lesous-epscapeorrpaessco L’homoth´etieu0,lae´gsre´nesgonatdialb.eilaselacaDsnuλe’lntme´estlega puisquelasommedesdimensionsdessous-espacespropresest´egale`an+ 1, qui est la dimension deE. Exercice 2.2. SoitEeninfiioe´leeirlemsnedidespaunctorceven>2 etE1 E2deux sous-espaces vectoriels deEpulpe´emtniaerdssan,sEvuasetcerunoet´enritdu nul. Soitu1∈ L(E1),u2∈ L(E2) etu3∈ L(E2 E1).