Bac de mathématiques spécialité 2011 S

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Sujet de l'épreuve de mathématiques (spécialité) du baccalauréat général, série S année 2011.
Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10−4.
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
PARTIE A
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
– La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du
test).
– La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité
du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l’événement « la personne est contaminée par le virus » et T l’événement « le test est
positif ».
V et T désignent respectivement les événements contraires de V et T .
1. a. Préciser les valeurs des probabilités P(V ), PV (T ) , PV (T ).
Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
b. En déduire la probabilité de l’événement V \T .
2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
3. a. Justifier par un calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de « chances » que la personne soit
contaminée ».
b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant
que son test est négatif .
PARTIE B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages
sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus
parmi ces 10 personnes.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
Publié le : mercredi 22 juin 2011
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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2011 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 9 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6. 11MASCSME1 page1/6 SPÉCIALITÉ EXERCICE1(4points) Communàtouslescandidats LesdeuxpartiesAetBpeuventêtretraitéesindépendamment. −4Lesrésultatsserontdonnéssousformedécimaleenarrondissantà10 . Dansunpays,ilya2%delapopulationcontaminéeparunvirus. PARTIEA Ondisposed’untestdedépistagedecevirusquialespropriétéssuivantes: – Laprobabilitéqu’unepersonnecontaminéeaituntestpositifestde0,99(sensibilitédu test). – Laprobabilitéqu’une personnenoncontaminéeaituntestnégatifestde 0,97(spécifi- citédutest). Onfaitpasseruntestàunepersonnechoisieauhasarddanscettepopulation. OnnoteV l’événement«lapersonneestcontaminéeparlevirus»etT l’événement«letestest positif». V etT désignentrespectivementlesévénementscontrairesdeV etT. 1. a. PréciserlesvaleursdesprobabilitésP(V),P (T),P (T).V V Traduirelasituationàl’aided’unarbredeprobabilités. b. Endéduirelaprobabilitédel’événementV ∩T. 2. Démontrerquelaprobabilitéqueletestsoitpositifest0,0492. 3. a. Justifierparuncalcullaphrase: « Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de « chances » que la personne soit contaminée». b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sa- chantquesontestestnégatif. PARTIEB Onchoisitsuccessivement10personnesdelapopulationauhasard,onconsidèrequelestirages sontindépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmices10personnes. 1. JustifierqueXsuituneloibinomialedontondonneralesparamètres. 2. Calculerlaprobabilitéqu’ilyaitaumoinsdeuxpersonnescontaminéesparmiles10. 11MASCSME1 page2/6 EXERCICE2(4points) Communàtouslescandidats Pourchaque question,uneseuledesquatreréponsesproposéesestexacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou encasderéponsefausse. ³ ´→− →− Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormaldirect O ; u , v . Ondésignepar A,B,C,D lespointsd’affixesrespectivesz =1,z =i,z =−1,z =−i.A B C D π 1. L’imageE dupointD parlarotationdecentre A etd’angle apouraffixe: 3p 1+ 3• z = (1+i),E 2p 1+ 3• z = (1−i),E 2p 1− 3• z = (1−i),E 2p 1− 3 (1+i).• z =E 2 2. L’ensembledespointsd’affixez telleque|z+i|=|z−1|est: • lamédiatricedusegment[BC], • lemilieudusegment[BC], • lecercledecentreO etderayon1, • lamédiatricedusegment[AD]. z+i 3. L’ensembledespointsd’affixez telleque soitunimaginairepurest: z+1• ladroite(CD)privéedupointC, • lecercledediamètre[CD]privédupointC, • lecercledediamètre[BD]privédupointC, • lamédiatricedusegment[AB]. π 4. L’ensembledespointsd’affixez tellequearg(z−i)=− +2kπoùk∈Zest: 2• ledemi-cercledediamètre[BD]passantpar A, • ladroite(BD), • lademi-droite]BD)d’origineB passantparD privéedeB, • lecercledediamètre[BD]privédeB etD. 11MASCSME1 page3/6 b EXERCICE3(7points) Communàtouslescandidats Pourtoutentiernatureln supérieurouégalà1,ondésignepar f lafonctiondéfiniesurRpar:n n −xf (x)=x e .n ³ ´→− →− OnnoteC sacourbereprésentativedansunrepèreorthogonal O ; i , j duplan.n PARTIEA Surlegraphiqueci-dessous,onareprésentéunecourbeC oùk estunentiernaturelnonnul,k satangenteT aupointd’abscisse1etlacourbeC .k 3 µ ¶ 4 LadroiteT coupel’axedesabscissesaupoint A decoordonnées , 0 .k 5 y Tk Ck ~j x ~O i A C3 1. a. Déterminerleslimitesdelafonction f en−∞eten+∞.1 b. Étudierlesvariationsdelafonction f etdresserletableaudevariationsde f .1 1 c. Àl’aidedugraphique,justifierquek estunentiersupérieurouégalà2. 2. a. Démontrerquepourn>1,touteslescourbesC passentparlepointO etunautren pointdontondonneralescoordonnées. b. Vérifierquepourtoutentiernatureln supérieurouégalà2,etpourtoutréelx, 0 n−1 −xf (x)=x (n−x)e .n 11MASCSME1 page4/6 3. Surlegraphique,lafonction f sembleadmettreunmaximumatteintpourx=3.3 Validercetteconjectureàl’aided’unedémonstration. µ ¶ k−2 4. a. DémontrerqueladroiteT coupel’axedesabscissesaupointdecoordonnées , 0 .k k−1 b. Endéduire,àl’aidedesdonnéesdel’énoncé,lavaleurdel’entierk. PARTIEB Ondésignepar(I )lasuitedéfiniepourtoutentiern supérieurouégalà1parn Z1 n −xI = x e dx.n 0 1. CalculerI .1 2. Danscettequestion,toutetracederechercheoud’initiative,mêmeincomplète,serapriseen comptedansl’évaluation. Surlegraphiqueci-dessous,onareprésentélesportionsdescourbesC ,C ,C ,C ,C ,1 2 3 10 20 C comprisesdanslabandedéfiniepar06x61.30 y 0,5 C C C1 2 3 C10 C20 C30 x 0 1 a. Formulerune conjecture surle sens de variationde la suite I en décrivantsa dé-( )n marche. b. Démontrercetteconjecture. c. Endéduirequelasuite(I )estconvergente.n d. Déterminer lim I .n n→+∞ 11MASCSME1 page5/6 EXERCICE4(5points) Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité PARTIEA-Restitutionorganiséedeconnaissances Onrappelleci-dessouslethéorèmedeBÉZOUT etlethéorèmedeGAUSS. ThéorèmedeBÉZOUT : Deuxentiersrelatifsa etb sontpremiersentreeuxsietseulementsi,ilexisteuncouple (u, v)d’entiersrelatifsvérifiantau+bv=1. ThéorèmedeGAUSS : Soienta,b,c desentiersrelatifs. Sia diviseleproduitbc etsia etb sontpremiersentreeux,alorsa divisec. 1. EnutilisantlethéorèmedeBÉZOUT, démontrerlethéorèmedeGAUSS. 2. Soientp et q deuxentiersnaturelstelsquep etq sontpremiersentreeux. DéduireduthéorèmedeGAUSS que,sia estunentierrelatif,telquea ≡ 0[p]eta ≡0[q], alorsa ≡ 0[pq]. . PARTIEB Onseproposededéterminerl’ensembleS desentiersrelatifsn vérifiantlesystème: ½ n ≡ 9 [17] n ≡ 3 [5] 1. Recherched’unélémentdeS . Ondésignepar(u,v)uncoupled’entiersrelatifstelque17u+5v=1. a. Justifierl’existenced’untelcouple(u,v). b. Onposen =3×17u+9×5v.0 Démontrerquen appartientàS .0 c. Donnerunexempled’entiern appartenantàS .0 2. CaractérisationdesélémentsdeS a. Soitn unentierrelatifappartenantàS . Démontrerquen−n ≡ 0 [85].0 b. Endéduirequ’unentierrelatifnappartientàS sietseulementsinpeuts’écriresous laformen=43+85k oùk estunentierrelatif. 3. Application Zoésaitqu’elleaentre300et400jetons.Siellefaitdestasde17jetons,illuienreste9.Si ellefaitdestasde5jetons,illuienreste3. Combiena-t-elledejetons? 11MASCSME1 page6/6
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