[BaccalauréatSPondichéry16avril2008\ EXERCICE 1 4points Communàtouslescandidats x 1. Soit f la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f(x)= et soit H la fonction xe −1Zx définiesur[1; +∞[parH(x)= f(t)dt. 1 a. Justifierque f etH sontbiendéfiniessur[1; +∞[ b. Quellerelationexiste-t-ilentreH et f ? ³ ´→− →− c. SoitC lacourbereprésentativede f dansunrepèreorthonormal O, ı ,  duplan.Interpréterentermesd’airelenombreH(3). 2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3). −xx e a. Montrerquepourtoutréelx>0, =x× . x −xe −1 1−eZ µ ¶ µ ¶ Z3 3 ¡ ¢1 1 −xb. Endéduireque f(x)dx=3ln 1− −ln 1− − ln 1−e dx. 3e e1 1µ ¶ µ ¶ 1 1−xc. Montrerquesi16x63,alorsln 1− 6ln(1−e )6ln 1− .3e eZ Z3 3¡ ¢−xd. Endéduireunencadrementde ln 1−e dx puisde f(x)dx. 1 1 EXERCICE 2 5points Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité Cetexercicecontientunerestitutionorganiséedeconnaissances. PartieA Onsupposeconnuslesrésultatssuivants: 1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes z , z et z trois pointsA B C A, B etC.¯ ¯ µ ¶ ³ ´¯ ¯z −z CB z −z −→ −→B C B C¯ ¯Alors = etarg = CA, CB (2π).¯ ¯z −z CA z −zA C A C 2. Soitz unnombrecomplexeetsoitθunréel: iθz=e sietseulementsi|z|=1etarg(z)=θ+2kπ,oùk estunentierrelatif. Démonstrationdecours:démontrerquelarotationr d’angleαetdecentreΩd’af- ′fixeωestlatransformationduplanquiàtoutpoint M d’affixez associelepoint M ′d’affixez telque ′ iαz −ω=e (z−ω). PartieB ³ ´→− →− Dansunrepèreorthonorrnaldirectduplancomplexe O, u , v d’unitégraphique 2cm,onconsidèrelespoints A, B, C etD d’affixesrespectives p p p p z =− 3−i, z =1−i 3, z = 3+ietz =−1+i 3.A B C D 1. a. Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes z , z , z etz .A B C DBaccalauréatS b. Commentconstruireàlarègleetaucompaslespoints A, B, C etD dans³ ´→− →− lerepère O, u , v ? c. Quelleestlanatureduquadrilatère ABCD? π 2. Onconsidèrela rotationr decentreBetd’angle− . Soient E etF lespoints 3 duplandéfinispar:E=r(A)etF=r(C). a. Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le repèreprécédent? b. Donnerl’écriturecomplexeder. c. Déterminerl’affixedupointE. EXERCICE 2 5points Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité PartieA Onsupposeconnulerésultatsuivant: Uneapplication f duplanmunid’unrepèreorthonormaldirectdanslui-mêmeest unesimilitudedirectesietseulementsi f admetuneécriturecomplexedelaforme ′ ∗z =az+b,oùa∈C etb∈C. ′Démonstrationdecours:onseplacedansleplancomplexe.DémontrerquesiA,B,A ′ ′ ′et B sont quatre points tels que A est distinct de B et A est distinct de B , alors il ′ ′existeuneuniquesimilitudedirectetransformant A en A etB enB . PartieB ³ ´→− →− Dansleplancomplexemunid’unrepèreorthonomaldirect O, u , v onconsidère lespoints A, B, C, D d’affixesrespectives p p p p z =− 3−i, z =1−i 3, z = 3+ietz =−1+i 3.A B C D 1. a. Donner le module et un argument-dechacun desquatre nomlres com- plexes z , z , z etz .A B C D b. Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pourunitégraphique2cm). c. Déterminerlemilieu dusegment[AC],celui dusegment[BD]. Calculer zBlequotient .Endéduirelanatureduquadrilatère ABCD. zA π′ −i 32. Onconsidèrelasimilitudedirecteg dontl’écriturecomplexeestz =e z+2. a. Déterminerlesélémentscaractéristiquesdeg. b. ConstruireàlarègleetaucompaslesimagesrespectivesE, F et J par g despoints A, C etO. c. Queconstate-t-onconcernantcespointsE, F et J ?Ledémontrer. EXERCICE 3 4points Communàtouslescandidats B Onconsidèreuntétraèdre ABCD. On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD]. On désigne par G l’isobarycentre des points A, B, C etD. A C D Pondichéry 2 16avril2008BaccalauréatS 1. Montrerquelesdroites(IJ), (KL)et(MN)sontconcourantesenG. Danslasuitedel’exercice,onsupposeque AB=CD, BC= AD et AC=BD. (Onditqueletétraèdre ABCD estéquifacial,carsesfacessontisométriques). 2. a. Quelleestlanatureduquadrilatère IKJL? Préciserégalement lanature desquadrilatèresIMJN etKNLM. b. Endéduireque(IJ)et(KL)sontorthogonales.Onadmettraque,demême, les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN) sontorthogonales. 3. a. Montrerqueladroite(IJ)estorthogonaleauplan(MKN). −→ −−→ b. QuelleestlavaleurduproduitscalaireIJ ¢MK ?Endéduireque(IJ)est orthogonaleàladroite(AB).Montrerdemêmeque(IJ)estorthogonale àladroite(CD). c. MontrerqueG appartientauxplansmédiateursde[AB]et[CD]. d. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’ini- tiative,mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation. Comment démontrerait-on queG est lecentredela sphèrecirconscrite autétraèdre ABCD? EXERCICE 4 7points Communàtouslescandidats Onchercheàmodéliserdedeuxfaçonsdifférentesl’évolutiondunombre,expriméen millions, defoyersfrançaispossédantuntéléviseurà écranplat,enfonction del’an- née. LespartiesAetBsontindépendantes PartieA:unmodèlediscret Soit u le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écrann platl’annéen. Onposen=0en2005,u =1et,pourtoutn>0,0 1 u = u 20−u .( )n+1 n n10 1. Soit f lafonctiondéfiniesur[0;20]par 1 f(x)= x(20−x). 10 a. Étudierlesvariationsde f sur[0;20]. b. Endéduirequepourtoutx∈[0; 20], f(x)∈[0; 10]. c. On donne en annexe la courbe représentativeC de la fonction f dans unrepèreorthonormal. Représenter,surl’axedesabscisses,àl’aidedecegraphique,lescinqpre- mierstermesdelasuite(u ) .n n>0 2. Montrerparrécurrencequepourtoutn∈N, 06u 6u 610.n n+1 3. Montrerquelasuite(u ) estconvergenteetdéterminersalimite.n n>0 PartieB:unmodèlecontinu Soitg(x)lenombre,expriméenmillions, detelsfoyersl’année x. Onposex=0en2005,g(0)=1etg estunesolution,quines’annulepassur[0; +∞[, del’équationdifférentielle Pondichéry 3 16avril2008BaccalauréatS 1′(E) ; y = y(10−y) 20 1 1. Onconsidèreunefonctiony quines’annulepassur[0;+∞[etonposez= . y a. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équationdifférentielle: 1 1′(E ) : z =− z+ .1 2 20 b. Résoudrel’équation(E )etendéduirelessolutionsdel’équation(E).1 10 2. Montrerqueg estdéfiniesur[0;+∞[par g(x)= .1− x29e +1 3. Étudierlesvariationsdeg sur[0; +∞[. 4. Calculerlalimitedeg en+∞etinterpréterlerésultat. 5. Enquelleannéelenombredefoyerspossédantunteléquipementdépassera- t-il5millions? Pondichéry 4 16avril2008BaccalauréatS ANNEXE Àrendreaveclacopie 14 13 13 12 12 11 11 1010 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 33 2 2 1 1 0 -4 -3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 -2−2 -3−3 Pondichéry 5 16avril2008