Baccalaureat 2001 mathematiques scientifique recueil d'annales

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[BaccalauréatS2001\L’intégraledeseptembre2000àjuin2001PourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleusAntilles-Guyaneseptembre2000 .........................3Franceseptembre2000 ...................................6Polynésieseptembre2000 ...............................10Nouvelle-Calédoniedécembre2000 ....................14AmériqueduSuddécembre2000 .......................17Nouvelle-Calédoniemars2001 .........................20Pondichérymars2001 .................................. 23AmériqueduNordjuin2001 ............................26Antilles-Guyanejuin2001 ...............................29Asiejuin2001 ........................................... 32Centresétrangersjuin2001 .............................36Francejuin2001 .........................................40Libanjuin2001 ..........................................43Polynésiejuin2001 ......................................47BaccalauréatS L’année20012[BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre2000\EXERCICE 1 4pointsCommunàtouslescandidats1. Pourtoutnombrecomplexez,onconsidère4 3 2f(z)=z −10z +38z −90z+261.a. Soitbunnombreréel.Exprimerenfonctiondeb lespartiesréelleetima-ginairede f(ib).Endéduirequel’équation f(z)=0admetdeuxnombresimaginairespurscommesolution.b. Montrerqu’ilexistedeuxnombresréelsαetβ,quel’ondéterminera,telsque,pourtoutnombrecomplexez,¡ ¢¡ ¢2 2f(z)= z +9 z +αz+β .c. Résoudredansl’ensembledesnombrescomplexesl’équation f(z)=0.2. LeplancomplexeP estrapportéàunrepèreorthonormal.a. Placerdans ...

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[BaccalauréatS2001\ L’intégraledeseptembre2000à juin2001 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2000 .........................3 Franceseptembre2000 ...................................6 Polynésieseptembre2000 ...............................10 Nouvelle-Calédoniedécembre2000 ....................14 AmériqueduSuddécembre2000 .......................17 Nouvelle-Calédoniemars2001 .........................20 Pondichérymars2001 .................................. 23 AmériqueduNordjuin2001 ............................26 Antilles-Guyanejuin2001 ...............................29 Asiejuin2001 ........................................... 32 Centresétrangersjuin2001 .............................36 Francejuin2001 .........................................40 Libanjuin2001 ..........................................43 Polynésiejuin2001 ......................................47 BaccalauréatS L’année2001 2 [BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre2000\ EXERCICE 1 4points Communàtouslescandidats 1. Pourtoutnombrecomplexez,onconsidère 4 3 2f(z)=z −10z +38z −90z+261. a. Soitbunnombreréel.Exprimerenfonctiondeb lespartiesréelleetima- ginairede f(ib).Endéduirequel’équation f(z)=0admetdeuxnombres imaginairespurscommesolution. b. Montrerqu’ilexistedeuxnombresréelsαetβ,quel’ondéterminera,tels que,pourtoutnombrecomplexez,¡ ¢¡ ¢2 2f(z)= z +9 z +αz+β . c. Résoudredansl’ensembledesnombrescomplexesl’équation f(z)=0. 2. LeplancomplexeP estrapportéàunrepèreorthonormal. a. Placerdans leplanP les points A,B,C etD ayantrespectivement pour affixes:a=3i, b=−3i, c=5+2ietd=5−2i. b. Déterminerl’affixedel’isobarycentreGdespointsA,B,C,D. c. Déterminerl’ensembleEdespointsM deP telsque: −−→ −−→ −−→ −−→kMA +MB +MC +MDk=10. TracerEsurlafigureprécédente. EXERCICE 2 4points Enseignementobligatoire 1. Une fourmise déplacesur les arêtesdela pyramide ABCDS.Depuisunsom- metquelconque,ellesedirigeauhasard(onsupposequ’ilyaéquiprobabilité) versunsommetvoisin;onditqu’elle«faitunpas». a.LafourmisetrouveenA. S Aprèsavoirfaitdeuxpas,quelleestla probabilitéqu’ellesoit: •enA? •enB? •enC? •enD? b. Pour tout nombre entier naturel n strictementpositif,onnote: D CS l’évènement « la fourmi est aun sommet S aprèsn pas»,et p la pro-n babilitédecetévènement. ADonnerp .1 B EnremarquantqueS = S ∩S ,montrerquen+1 n+1 n ¡ ¢1 p = 1−p .n+1 n 3 BaccalauréatS L’année2001 2.Onconsidèrelasuite(p ),définiepourtoutnombreentiern strictementpo-n 1 p =1 3sitifpar: .¡ ¢1 p = 1−pn+1 n3 a.Montrerparrécurrenceque,pouttoutentiernatureln strictementposi-µ µ ¶ ¶n1 1 tif,onap = 1− − .n 4 3 b.Déterminer lim p .n n→+∞ PROBLÈME 12points Enseignementobligatoireetdespécialité L’objetdeceproblèmeestd’étudier,àl’aided’unefonctionauxiliaire,unefonction etderésoudreuneéquationdifférentielledontelleestsolution. A.Étuded’unefonctionauxiliaire Soitg lafonctiondéfiniesurRpar x ¡ ¢e xg(x)= −ln 1+2e . x1+2e ′1. Calculer g (x) et montrer que ce nombre est strictement négatif pour tout x deR. 2. Déterminerleslimitesdeg en- ∞et+∞. 3. Dresserletableaudevariationdeg. 4. Donnerlesignedeg(x). B.Étuded’unefonctionetcalculd’uneaire Soit f lafonctiondéfiniesurRpar ¡ ¢−2x xf(x)=e ln 1+2e . On noteC sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unitésgraphiques:4cmsurl’axedesabscisseset1cmsurl’axedesordonnées). ′ ′ −2x1. Calculer f (x)etmontrerquepourtoutréelx, f (x)=2e g(x). 2. a. Déterminerlalimitede f en- ∞. b. Déterminerlalimitede f en+∞. Onpourraremarquerque: X lnXxsionposeX =1+2e , f(x)s’écrit4 .2(X−1) X 3. Dresserletableaudevariationde f. 4. TracerC. 5. Soitαunréelstrictementpositif. Antilles-Guyane 4 septembre2000 BaccalauréatS L’année2001 −x −xe e−xa. Vérifierque,pourtoutréelx, =e −2 . x −x1+2e e +2Zα −xe Endéduirelavaleurdel’intégraleI(α)= dx. x1+2e0 b. Calculer,àl’aided’uneintégrationparparties,l’intégrale:Zα J(α)= f(x)dx. 0 Donneruneinterprétationgraphiquede J(α). C.Résolutiond’uneéquationdifférentielle Onconsidèrel’équationdifférentielle −xe′(E) : y +2y=2 . x1+2e 1. Vérifierquelafonction f étudiéedanslapartieB)estsolutionde(E). 2. Montrerqu’unefonctionϕestsolutionde(E)sietseulementsiϕ−f estsolu- tiondel’équationdifférentielle ′ ′(E ) : y +2y=0. ′3. Résoudre(E )etendéduirelessolutionsde(E). Antilles-Guyane 5 septembre2000 [BaccalauréatSFranceseptembre2000\ EXERCICE 1 4points Communàtouslescandidats −3Lesrésultatsserontdonnésà 10 près. Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualitédesesproduits.Chaqueenquêteuraunelistedepersonnesàcontacter. Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit absent est 0,4. Sachant que le correspondant est présent, la probabilité pour qu’il acceptederépondreauquestionnaireest0,2. 1. Onnote: • A l’évènement «lapersonneestabsentelorsdupremierappel»;1 • R l’évènement«lapersonneacceptederépondreauquestionnairelorsdu1 premierappel». QuelleestlaprobabilitédeR ?1 2. Lorsqu’unepersonneestabsentelorsdupremierappel,onluitéléphoneune seconde fois, à une heure différente, et, alors, la probabilité pour qu’elle soit absente est 0,3. Et, sachant qu’elle est présente lors du second appel, la pro- babilitépourqu’elleacceptederépondreauquestionnaireestencore0,2. Siunepersonneestabsentelorsdusecondappel,onnetenteplusdelacontac- ter. Onnote: A l’évènement «lapersonneestabsentelorsdusecondappel»;2 R l’évènement «la personne accepte de répondre au questionnaire lors du2 secondappel»; Rl’évènement«lapersonneacceptederépondreauquestionnaire». MontrerquelaprobabilitédeRest0,176.(Onpourrautiliserunarbre). 3. Sachant qu’une personne a accepté derépondreauquestionnaire, quelle est laprobabilitépourquelaréponseaiteulieulorsdupremierappel? 4. On suppose que les sondages auprès des personnes d’une même liste sont indépendants. Un enquêteur a une liste de 20 personnes à contacter. Quelle est la probabilité pour qu’une au moins des 20 personnes de la liste accepte derépondreauquestionnaire? EXERCICE 2 5points Enseignementobligatoire(hors-programmeen2002) BaccalauréatS L’année2001 H G Lesquestions1)et2)sontin- dépendantes. E FL’espace est muni d’un re- pèreorthonormaldirect. ABCDEFGH est le cube re- présenté ci-contre. Son arête a pour longueur 1, le centre delafaceABCDestlepointI. Aucune figure n’est deman- D Cdéesurlacopie. I A B−→ −→ 1. a. DéterminerBC ∧BA. b. Endéduirel’ensemble(E)despointsM del’espacetelsque:³ ´−→ −→ −−→ →− BC ∧BA ∧BM = 0 . c. Déterminerl’ensemble(F)despointsM del’espacetelsque:³ ´−→ −→ −−→ BC ∧BA ¢BM =0. 2. OnappellePlebarycentredusystème{(A,2);(C,-1)}. a. MontrerquePestlesymétriquedeCparrapportàA. b. Soit(G)l’ensembledespointsM del’espacetelsque:° ° ° °−−→ −−→ −−→ −−→ −−→° ° ° °°2MA −MC°=°−MA +2MB −MC°. Déterminerl’ensemble(G). MontrerquelepointAappartientàl’ensemble(G). EXERCICE 2 5points Enseignementdespécialité ³ ´→− →− Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormaldirect O, u , v .L’unitégra- phiqueest4cm.OnconsidèrelespointsA,B,CetDd’affixesrespectivesa, b, c etd tellesque: p p π 3 3 3 πi −i3 6a=1, b=e , c= + i, d= e . 2 2 2 1. a. Donnerlaformeexponentielle dec etlaformealgébriqueded. b. ReprésenterlespointsA,B,CetD. c. MontrerquelequadrilatèreOACBestunlosange. 2. MontrerquelespointsD,AetCsontalignés. 3. Déterminer l’angleθ etlerapportk dela similitude directe s decentreOqui transformeAenC. France 7 septembre2000 BaccalauréatS L’année2001 4. OnnoteFetGlesimagesparlasimilitude directes despointsDetCrespec- tivement.MontrerquelespointsF,CetGsontalignés. 5. Déterminerl’affixe f dupointF. 6. On considère la transformation ϕ qui à tout point M, d’affixe Z, associe le ′ ′pointM d’affixeZ telleque: p 2π 3 3′ i 3Z =e Z+ +i . 2 2 Pourtoutedroiteδduplan,onnoteraσ lasymétrieorthogonaled’axeδ.δ a. Soitr la transformation qui à tout point M d’affixe Z ,associe le point1 1 ′ ′M d’affixeZ ,telleque:1 1 p 2π 3 3′ −i 3Z =e Z + +i11 2 2 Déterminerlanatureder etdonnersesélémentscaractéristiques. ³ ´−→ −→ b. Enutilisantlesnombrescomplexes,donnerunemesuredel’angle AO, AB , puisdéterminerladroite¢telleque: r =σ ◦σ .¢ (AO) c. Montrerqueϕ=r◦σ .Endéduirelanaturedeϕ.(AO) PROBLÈME 11points Enseignementobligatoireetdespécialité ³ ´→− →− Le plan est rapporté à un repère orthogonal O, ı ,  . L’unité graphique est 4 cm surl’axedesabscisseset2cmsurl’axedesordonnées. PartieA 1−xSoit f lafonctiondéfiniesurRpar: f(x)=(2+cosx)e .³ ´→− →− Onnote(C)lacourbereprésentativede f danslerepère O, ı ,  . 1. Montrerque,pourtoutx deR: f(x)>0. ³ ´p π 2. a. Montrerque,pourtoutx deR : 2cos x− =cosx+sinx. 4 b. Endéduireque,pourtoutx deR : 2+cosx+sinx>0. c. Montrerque f eststrictementdécroissantesurR. 1−x 1−x3. a. Montrerque,pourtoutx deR : e 6 f(x)63e . b. Endéduireleslimitesde f en+∞eten-∞. c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la li- mitede f en+∞. 4. a. Montrer que, sur l’intervalle [0;π], l’équation f(x)=3 admet une solu- tionuniqueα. France 8 septembre2000 BaccalauréatS L’année2001 −2b. Donnerunencadrementdeαd’amplitude10 . 5. Représenterlacourbe(C)sur[0;4]. PartieB Onveutcalculerl’aire,A,expriméeenunitésd’aire,dudomainelimitéparlacourbe (C),l’axedesabscisses,l’axedesordonnéesetladroited’équationx=1. Z1 1−t1. Montrerque:A =2e−2+ coste dt. 0Z Z1 1 1−t 1−t2. OnposeI= cost e dt etJ= sint e dt. 0 0 a. Àl’aidededeuxintégrationsparparties,montrerque:I=-cos1+e-Jet J=-sin1+1. b. EndéduirelavaleurdeI. 3. Déterminer la valeur exacte deA en unités d’aire, puis donner une valeur −2approchéedeA à10 prèspardéfaut. PartieC sinx Soith lafonctiondéfiniesurRpar:h(x)=−1− . 2+cosx 1. a. Montrerquelafonctionh admetdesprimitivessurR. b. CalculerlaprimitiveH delafonctionh,quiprenden0lavaleur(1+ln3).¡ ¢ 2. a. Déterminerln f(x) pourtoutx deR. b. ÉtudierlesensdevariationdelafonctionH. c. DéterminerletableaudevariationsdeH. 3. OnappelleΓlacourbereprésentativedelafonctiondéfiniesurRpar x7!1−x+ln(2+cosx).(OnnedemandepasdereprésenterΓ).Onappelle¢ ladroited’équation y=−x+1. a. ÉtudierlapositionrelativedeΓetde¢. b. DéterminerlesabscissesdespointscommunsàΓet¢. 4. a. ÉtabliruneéquationdelatangenteTàΓaupointd’abscisse0. b. ÉtudierlapositionrelativedeΓetT. 5. Montrer que la courbeΓ est contenue dans une bande du plan limitée par deuxdroitesparallèlesdontondonneradeséquations. France 9 septembre2000 [BaccalauréatSPolynésieseptembre2000\ EXERCICE 1 5points Communàtouslescandidats Ondisposed’undécubiquedontlesfacessontnumérotéesde1à6.Ondésignepar p la probabilité d’obtenir, lors d’un lancer, la face numérotée k (k est un entier etk 16k66). Cedéaétépipédetellesorteque: • lessixfacesnesontpaséquiprobables, • les nombres p , p , p , p , p , p , dans cet ordre, sont six termes consécutifs1 2 3 4 5 6 d’unesuitearithmétiquederaisonr, • les nombres p , p , p dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d’une suite1 2 4 géométrique. k 1. Démontrerque:p = pourtoutentierk telque16k66.k 21 2. Onlancecedéunefoisetonconsidèrelesévènementssuivants: – A:«lenombreobtenuestpair» – B:«lenombreobtenuestsupérieurouégalà3» – C:«lenombreobtenuest3ou4». a. Calculerlaprobabilitédechacundecesévènements. b. Calculer la probabilitéque lenombreobtenu soitsupérieur ouégalà 3, sachantqu’ilestpair. c. Les évènements A et B sont-ils indépendants? Les évènements A et C sont-ilsindépendants? 3. Onutilisecedépourunjeu.Ondispose: • d’uneurneU contenantunebouleblancheettroisboulesnoires,1 • d’uneurneU contenantdeuxboulesblanchesetuneboulenoire.2 Lejoueurlanceledé: • s’ilobtientunnombrepair,ilextraitauhasardunebouledel’urneU ,1 • s’ilobtientunnombreimpair,ilextraitauhasardunebouledel’urneU .2 Onsupposequelestiragessontéquiprobablesetlejoueurestdéclarégagnant lorsqu’iltireunebouleblanche,onnoteGcetévènement. a. Déterminer la probabilité de l’évènement G∩ A, puis la probabilité de l’évènement G. b. Lejoueurestgagnant.Déterminerlaprobabilitéqu’ilaitobtenuunnombre pairlorsdulancerdudé. EXERCICE 2 5points Enseignementobligatoire OnconsidèreuncubeABCDEFGHd’arête1. −→ −→ −→ 1. a. Exprimerplussimplement levecteurAB +AD +AE. −→−→ b. EndéduirequeleproduitscalaireAG.BD estnul. −→ −→ c. DémontrerdemêmequeleproduitscalaireAG ¢BE estnul. d. Démontrerqueladroite(AG)estorthogonaleauplan(BDE).
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