[BaccalauréatS2001\
L’intégraledeseptembre2000à
juin2001
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2000 .........................3
Franceseptembre2000 ...................................6
Polynésieseptembre2000 ...............................10
Nouvelle-Calédoniedécembre2000 ....................14
AmériqueduSuddécembre2000 .......................17
Nouvelle-Calédoniemars2001 .........................20
Pondichérymars2001 .................................. 23
AmériqueduNordjuin2001 ............................26
Antilles-Guyanejuin2001 ...............................29
Asiejuin2001 ........................................... 32
Centresétrangersjuin2001 .............................36
Francejuin2001 .........................................40
Libanjuin2001 ..........................................43
Polynésiejuin2001 ......................................47BaccalauréatS L’année2001
2[BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre2000\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
1. Pourtoutnombrecomplexez,onconsidère
4 3 2f(z)=z −10z +38z −90z+261.
a. Soitbunnombreréel.Exprimerenfonctiondeb lespartiesréelleetima-
ginairede f(ib).Endéduirequel’équation f(z)=0admetdeuxnombres
imaginairespurscommesolution.
b. Montrerqu’ilexistedeuxnombresréelsαetβ,quel’ondéterminera,tels
que,pourtoutnombrecomplexez,¡ ¢¡ ¢2 2f(z)= z +9 z +αz+β .
c. Résoudredansl’ensembledesnombrescomplexesl’équation f(z)=0.
2. LeplancomplexeP estrapportéàunrepèreorthonormal.
a. Placerdans leplanP les points A,B,C etD ayantrespectivement pour
affixes:a=3i, b=−3i, c=5+2ietd=5−2i.
b. Déterminerl’affixedel’isobarycentreGdespointsA,B,C,D.
c. Déterminerl’ensembleEdespointsM deP telsque:
−−→ −−→ −−→ −−→kMA +MB +MC +MDk=10.
TracerEsurlafigureprécédente.
EXERCICE 2 4points
Enseignementobligatoire
1. Une fourmise déplacesur les arêtesdela pyramide ABCDS.Depuisunsom-
metquelconque,ellesedirigeauhasard(onsupposequ’ilyaéquiprobabilité)
versunsommetvoisin;onditqu’elle«faitunpas».
a.LafourmisetrouveenA. S
Aprèsavoirfaitdeuxpas,quelleestla
probabilitéqu’ellesoit:
•enA?
•enB?
•enC?
•enD?
b. Pour tout nombre entier naturel n
strictementpositif,onnote: D
CS l’évènement « la fourmi est aun
sommet S aprèsn pas»,et p la pro-n
babilitédecetévènement. ADonnerp .1 B
EnremarquantqueS = S ∩S ,montrerquen+1 n+1 n ¡ ¢1
p = 1−p .n+1 n
3BaccalauréatS L’année2001
2.Onconsidèrelasuite(p ),définiepourtoutnombreentiern strictementpo-n 1 p =1
3sitifpar: .¡ ¢1 p = 1−pn+1 n3
a.Montrerparrécurrenceque,pouttoutentiernatureln strictementposi-µ µ ¶ ¶n1 1
tif,onap = 1− − .n 4 3
b.Déterminer lim p .n
n→+∞
PROBLÈME 12points
Enseignementobligatoireetdespécialité
L’objetdeceproblèmeestd’étudier,àl’aided’unefonctionauxiliaire,unefonction
etderésoudreuneéquationdifférentielledontelleestsolution.
A.Étuded’unefonctionauxiliaire
Soitg lafonctiondéfiniesurRpar
x ¡ ¢e xg(x)= −ln 1+2e .
x1+2e
′1. Calculer g (x) et montrer que ce nombre est strictement négatif pour tout x
deR.
2. Déterminerleslimitesdeg en- ∞et+∞.
3. Dresserletableaudevariationdeg.
4. Donnerlesignedeg(x).
B.Étuded’unefonctionetcalculd’uneaire
Soit f lafonctiondéfiniesurRpar
¡ ¢−2x xf(x)=e ln 1+2e .
On noteC sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal
(unitésgraphiques:4cmsurl’axedesabscisseset1cmsurl’axedesordonnées).
′ ′ −2x1. Calculer f (x)etmontrerquepourtoutréelx, f (x)=2e g(x).
2. a. Déterminerlalimitede f en- ∞.
b. Déterminerlalimitede f en+∞.
Onpourraremarquerque:
X lnXxsionposeX =1+2e , f(x)s’écrit4 .2(X−1) X
3. Dresserletableaudevariationde f.
4. TracerC.
5. Soitαunréelstrictementpositif.
Antilles-Guyane 4 septembre2000BaccalauréatS L’année2001
−x −xe e−xa. Vérifierque,pourtoutréelx, =e −2 .
x −x1+2e e +2Zα −xe
Endéduirelavaleurdel’intégraleI(α)= dx.
x1+2e0
b. Calculer,àl’aided’uneintégrationparparties,l’intégrale:Zα
J(α)= f(x)dx.
0
Donneruneinterprétationgraphiquede J(α).
C.Résolutiond’uneéquationdifférentielle
Onconsidèrel’équationdifférentielle
−xe′(E) : y +2y=2 .
x1+2e
1. Vérifierquelafonction f étudiéedanslapartieB)estsolutionde(E).
2. Montrerqu’unefonctionϕestsolutionde(E)sietseulementsiϕ−f estsolu-
tiondel’équationdifférentielle
′ ′(E ) : y +2y=0.
′3. Résoudre(E )etendéduirelessolutionsde(E).
Antilles-Guyane 5 septembre2000[BaccalauréatSFranceseptembre2000\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
−3Lesrésultatsserontdonnésà 10 près.
Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la
qualitédesesproduits.Chaqueenquêteuraunelistedepersonnesàcontacter.
Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit
absent est 0,4. Sachant que le correspondant est présent, la probabilité pour qu’il
acceptederépondreauquestionnaireest0,2.
1. Onnote:
• A l’évènement «lapersonneestabsentelorsdupremierappel»;1
• R l’évènement«lapersonneacceptederépondreauquestionnairelorsdu1
premierappel».
QuelleestlaprobabilitédeR ?1
2. Lorsqu’unepersonneestabsentelorsdupremierappel,onluitéléphoneune
seconde fois, à une heure différente, et, alors, la probabilité pour qu’elle soit
absente est 0,3. Et, sachant qu’elle est présente lors du second appel, la pro-
babilitépourqu’elleacceptederépondreauquestionnaireestencore0,2.
Siunepersonneestabsentelorsdusecondappel,onnetenteplusdelacontac-
ter.
Onnote:
A l’évènement «lapersonneestabsentelorsdusecondappel»;2
R l’évènement «la personne accepte de répondre au questionnaire lors du2
secondappel»;
Rl’évènement«lapersonneacceptederépondreauquestionnaire».
MontrerquelaprobabilitédeRest0,176.(Onpourrautiliserunarbre).
3. Sachant qu’une personne a accepté derépondreauquestionnaire, quelle est
laprobabilitépourquelaréponseaiteulieulorsdupremierappel?
4. On suppose que les sondages auprès des personnes d’une même liste sont
indépendants. Un enquêteur a une liste de 20 personnes à contacter. Quelle
est la probabilité pour qu’une au moins des 20 personnes de la liste accepte
derépondreauquestionnaire?
EXERCICE 2 5points
Enseignementobligatoire(hors-programmeen2002)BaccalauréatS L’année2001
H G
Lesquestions1)et2)sontin-
dépendantes.
E FL’espace est muni d’un re-
pèreorthonormaldirect.
ABCDEFGH est le cube re-
présenté ci-contre. Son arête
a pour longueur 1, le centre
delafaceABCDestlepointI.
Aucune figure n’est deman- D
Cdéesurlacopie. I
A B−→ −→
1. a. DéterminerBC ∧BA.
b. Endéduirel’ensemble(E)despointsM del’espacetelsque:³ ´−→ −→ −−→ →−
BC ∧BA ∧BM = 0 .
c. Déterminerl’ensemble(F)despointsM del’espacetelsque:³ ´−→ −→ −−→
BC ∧BA ¢BM =0.
2. OnappellePlebarycentredusystème{(A,2);(C,-1)}.
a. MontrerquePestlesymétriquedeCparrapportàA.
b. Soit(G)l’ensembledespointsM del’espacetelsque:° ° ° °−−→ −−→ −−→ −−→ −−→° ° ° °°2MA −MC°=°−MA +2MB −MC°.
Déterminerl’ensemble(G).
MontrerquelepointAappartientàl’ensemble(G).
EXERCICE 2 5points
Enseignementdespécialité ³ ´→− →−
Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormaldirect O, u , v .L’unitégra-
phiqueest4cm.OnconsidèrelespointsA,B,CetDd’affixesrespectivesa, b, c etd
tellesque: p p
π 3 3 3 πi −i3 6a=1, b=e , c= + i, d= e .
2 2 2
1. a. Donnerlaformeexponentielle dec etlaformealgébriqueded.
b. ReprésenterlespointsA,B,CetD.
c. MontrerquelequadrilatèreOACBestunlosange.
2. MontrerquelespointsD,AetCsontalignés.
3. Déterminer l’angleθ etlerapportk dela similitude directe s decentreOqui
transformeAenC.
France 7 septembre2000BaccalauréatS L’année2001
4. OnnoteFetGlesimagesparlasimilitude directes despointsDetCrespec-
tivement.MontrerquelespointsF,CetGsontalignés.
5. Déterminerl’affixe f dupointF.
6. On considère la transformation ϕ qui à tout point M, d’affixe Z, associe le
′ ′pointM d’affixeZ telleque:
p
2π 3 3′ i 3Z =e Z+ +i .
2 2
Pourtoutedroiteδduplan,onnoteraσ lasymétrieorthogonaled’axeδ.δ
a. Soitr la transformation qui à tout point M d’affixe Z ,associe le point1 1
′ ′M d’affixeZ ,telleque:1 1
p
2π 3 3′ −i 3Z =e Z + +i11 2 2
Déterminerlanatureder etdonnersesélémentscaractéristiques.
³ ´−→ −→
b. Enutilisantlesnombrescomplexes,donnerunemesuredel’angle AO, AB ,
puisdéterminerladroite¢telleque:
r =σ ◦σ .¢ (AO)
c. Montrerqueϕ=r◦σ .Endéduirelanaturedeϕ.(AO)
PROBLÈME 11points
Enseignementobligatoireetdespécialité ³ ´→− →−
Le plan est rapporté à un repère orthogonal O, ı , . L’unité graphique est 4 cm
surl’axedesabscisseset2cmsurl’axedesordonnées.
PartieA
1−xSoit f lafonctiondéfiniesurRpar: f(x)=(2+cosx)e .³ ´→− →−
Onnote(C)lacourbereprésentativede f danslerepère O, ı , .
1. Montrerque,pourtoutx deR: f(x)>0.
³ ´p π
2. a. Montrerque,pourtoutx deR : 2cos x− =cosx+sinx.
4
b. Endéduireque,pourtoutx deR : 2+cosx+sinx>0.
c. Montrerque f eststrictementdécroissantesurR.
1−x 1−x3. a. Montrerque,pourtoutx deR : e 6 f(x)63e .
b. Endéduireleslimitesde f en+∞eten-∞.
c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la li-
mitede f en+∞.
4. a. Montrer que, sur l’intervalle [0;π], l’équation f(x)=3 admet une solu-
tionuniqueα.
France 8 septembre2000BaccalauréatS L’année2001
−2b. Donnerunencadrementdeαd’amplitude10 .
5. Représenterlacourbe(C)sur[0;4].
PartieB
Onveutcalculerl’aire,A,expriméeenunitésd’aire,dudomainelimitéparlacourbe
(C),l’axedesabscisses,l’axedesordonnéesetladroited’équationx=1.
Z1
1−t1. Montrerque:A =2e−2+ coste dt.
0Z Z1 1
1−t 1−t2. OnposeI= cost e dt etJ= sint e dt.
0 0
a. Àl’aidededeuxintégrationsparparties,montrerque:I=-cos1+e-Jet
J=-sin1+1.
b. EndéduirelavaleurdeI.
3. Déterminer la valeur exacte deA en unités d’aire, puis donner une valeur
−2approchéedeA à10 prèspardéfaut.
PartieC
sinx
Soith lafonctiondéfiniesurRpar:h(x)=−1− .
2+cosx
1. a. Montrerquelafonctionh admetdesprimitivessurR.
b. CalculerlaprimitiveH delafonctionh,quiprenden0lavaleur(1+ln3).¡ ¢
2. a. Déterminerln f(x) pourtoutx deR.
b. ÉtudierlesensdevariationdelafonctionH.
c. DéterminerletableaudevariationsdeH.
3. OnappelleΓlacourbereprésentativedelafonctiondéfiniesurRpar
x7!1−x+ln(2+cosx).(OnnedemandepasdereprésenterΓ).Onappelle¢
ladroited’équation y=−x+1.
a. ÉtudierlapositionrelativedeΓetde¢.
b. DéterminerlesabscissesdespointscommunsàΓet¢.
4. a. ÉtabliruneéquationdelatangenteTàΓaupointd’abscisse0.
b. Étudierlapositionre