Baccalaureat 2005 mathematiques sciences economiques et sociales recueil d'annales

[BaccalauréatES2005\ L’intégraledeseptembre2004 àjuin2005 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2004 ..................... 3 Franceseptembre2004 ............................... 6 AmériqueduSudnovembre2004 ................... 11 Nouvelle-Calédonienovembre2004 .................15 Pondichéry31mars2005 ............................20 AmériqueduNordjuin2005 .........................24 Antilles-Guyanejuin2005 ........................... 29 Asiejuin2005 ........................................34 Centresétrangersjuin2005 ..........................45 Francejuin2005 .....................................50 LaRéunionjuin2005 .................................57 Libanjuin2005 .......................................61 Polynésiejuin2005 .................................. 682[BaccalauréatESAntilles–Guyaneseptembre2004\ EXERCICE 1 5points Soitu unefonctiondéfinieetdérivablesurl’intervalle[0;4]. La courbeC ci-dessous est la représentation graphique de cette fonction dans le³ ´→− →− repèreorthonormal O, ı ,  .Ellepasseparlespointsdecoordonnéesrespectives (0; −3), (1; 0), (2; 1), (3; 0)et(4;−3). Elleadmet,aupointd’abscisse2,unetangenteparallèleàl’axedesabscisses. 1. Sansjustification a. Dresserletableaudevariationsdelafonctionu,enprécisantlesignede sadérivée. b. Dresserletableaudonnantlesignedelafonctionu sur[0;4]. 2 1 →−  0 →−-1 O 0 1 2 3 4 5 ı -1 -2 C-3 -4 2. Onconsidèrelafonction f =ln◦u (fonctioncomposéedeu suiviedeln). Onadmetque f estdérivableentoutpointoùelleestdéfinie. Enjustifiantsoigneusement votrechoix,diresichacunedesaffirmationssui- vantesestvraieoufausse a. f estdéfiniesur]0;4[. b. f estpositiveounullesursonensemblededéfinition. ′c. f (2)=0. d. Ladroited’équation x=1est uneasymptote àlacourbereprésentative de f. EXERCICE 2OBLIGATOIRE 5points Pour fabriquer un appareil on utilise successivement et dans cet ordre deux ma- chines M et M . La machine M peut provoquer deux défauts d et d . Un relevé1 2 1 1 2 statistiquepermetd’estimerque: • 4%desappareilsprésententledéfautd etluiseul;1 • 2%desappareilsprésententledéfautd ,etluiseul;2 • 1%desappareilsprésententàlafoislesdéfautsd etd .1 2 1. OnprélèveauhasardunappareilàlasortiedeM .Onnote:1 Al’évènement «l’appareilprésenteledéfautd »;1 Bl’évènement «l’appareilprésenteledéfautd »;2BaccalauréatES BaccalauréatESseptembre2004 a. Calculer les probabilités des évènements A et B notées respectivement p(A)etp(B). LesévènementsAetBsont-ilsindépendants? b. SoitDl’évènement «l’appareilprésenteaumoinsundéfaut». Montrerquelaprobabilitédel’évènementDestégaleà0,07. c. Quelleestlaprobabilitépourquel’appareilneprésenteaucundéfaut. ÀlasortiedelamachineM lesappareilsencoursdefabricationpassent1 parlamachineM quipeutprovoquerundéfautd danslesconditions2 3 suivantes: • 60%desappareilsayantaumoinsundéfautensortantdeM présententle1 défautd ;3 •3%desappareilssansdéfautàlasortiedeM présententledéfautd .1 3 2. On prélève au hasard un appareil après les passages successifs dans les ma- chinesM etM .1 2 OnnoteCl’évènement «l’appareilprésenteledéfautd ».3 a. Traduirelesinformationsprécédentesàl’aided’unarbrepondéré. b. Quelleestlaprobabilitéqu’onappareilfabriquésoitsansdéfaut? EXERCICE 2SPÉCIALITÉ 5points Lucien,fumeurimpénitent,décided’essayerdeneplusfumer. S’ilnefumepasunjourdonné,laprobabilitéqu’ilnefumepaslelendemainest0,3. Parcontre,s’ilfumeunjourdonné,laprobabilitéqu’ilnefumepaslelendemainest 0,9. OnnoteFl’évènement «Lucienfume»etFl’évènement contraire. 1. Traduirecesinformations àl’aided’ungrapheprobabilistedontlessommets serontnotésFetF. µ ¶ 0,1 0,9 OnadmetquelamatriceMassociéeaugrapheest 0,7 0,3 2. Pour tout entier n supérieur ou égal à1, l’état probabiliste le n-ième jour est définiparlamatriceligneP = a b oùa désignelaprobabilitéqueLu-( )n n n n cienfumelen-ièmejouretb laprobabilitéqueLuciennefumepaslen-ièmen jour. a. OnsupposequelepremierjourlaprobabilitéqueLucienfumeest0,2. DéterminerP .1 2b. CalculerM etendéduireP .3 c. DéterminerP enfonctiondeP etendéduirelaprobabilitéqueLu-n+1 n cienfumele(n+1)-ièmejourenfonctiondea etb .n n d. On considère la matrice ligne P = (a b) où a et b sont deux réels tels quea+b=1. Déterminera etb pourqueP=PM. Endéduirelalimitedea quandn tendvers+∞.n EXERCICE 3 10points Uneentreprisealancésurlemarchéunproduitinformatiqueen1990. Uneétudestatistique apermisd’établir lestauxdesménageséquipésentre1993et 2002. Lesrésultatsdecetteétudesontconsignésdansletableauci-dessous: Antilles–Guyane 4BaccalauréatES BaccalauréatESseptembre2004 Année 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Rangde 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I’annéeti Tauxdeména- 0,20 0,22 0,32 0,34 0,35 0,43 0,48 0,49 0,53 0,60 geséquipés yi Cette entreprise doit prévoir une reconversion dès que 90% des ménages seront équipés,c’est-à-diredèsqueletauxdesménageséquipésseraégalà0,9. Pourfairecetteétudeprévisionnelle,elleenvisagedeuxtypesd’ajustement.³ ´→− →− Danstoutleproblème,leplanestmunid’unrepèreorthogonal O, ı ,  . (Unitésgraphiques:1cmsurl’axedesabscisses,20cmsurl’axedesordonnées). Lesparties Bet Cpeuventêtretraitéesindépendammentdelapartie A. PartieA-Ajustementaffine ¡ ¢ 1. Représenterencouleurlenuagedepointsassociéàlasériestatistique t , yi i³ ´→− →− danslerepère O, ı ,  . 2. Donner une équation dela droite D d’ajustement affine de y en t par la mé- thodedesmoindrescarrés.Onnedemandepasledétaildescalculsetlesva- −3leursserontarrondiesà10 .³ ´→− →− 3. ReprésenterDdanslerepère O, ı ,  . 4. Pourquoicetajustementnepermet-ilpasd’effectuerdesprévisionsaprèsl’an- née2011? PartieB-Ajustementlogistique Onsupposequelasituationestmodéliséeparlafonction f,définieetdérivablesur [0;+∞[,telleque 1 f(t)= . 0,2t1+4e Lenombre f(t)donneenfonctiondurangt del’annéeletauxdesmenageséquipés.³ ´→− →− OnnoteC lacourbereprésentativede f danslerepère O, ı ,  . 1. Calculerlalimitede f en+∞etendéduirequeC admetuneasymptotenotée Δdontondonnerauneéquation. −0,2t0,8e′2. Vérifierque,pourtoutréelt de]0;+∞[, f (t)= .¡ ¢2−0,2t1+4e Endéduirelesensdevariationde f puisdressersontableaudevariations.³ ´→− →− 3. TracerC etΔdansterepère O, ı ,  . ′4. Résoudrealgébriquementl’inéquation f (t)>0,9. PartieC-Application Danscettepartie,lespourcentagesserontarrondisàl’unité. Onsuppose que f(t) est une approximation satisfaisante, au moins jusqu’en 2013, dutauxdesménageséquipésdeceproduitinformatique. Àl’aidedecetteapproximationetdesrésultatsdelapartieB,déterminer: 1. Lepourcentagedesménageséquipésdeceproduitinformatiqueen2008. 2. L’annéeàpartirdelaquelle90%desménagesserontéquipés. Antilles–Guyane 5[BaccalauréatsérieESFranceseptembre2004\ EXERCICE 1 7points Communàtouslescandidats −5xSoit f lafonctiondéfiniepourtoutx élémentdeRpar f(x)=30e . 5xSoitg lafonctiondéfiniepourtoutx élémentdeRparg(x)=e +1. Onadmetque f etg sontdérivablessurR. 1. Démontrerquelafonction f eststrictementdécroissantesurR. 2. Démontrerquelafonctiong eststrictementcroissantesurR. 3. Tracer sur lacopie dans unmême repèreorthogonalles représentations gra- phiques desfonctions f et g surl’intervalle [0;0,5](onprendra20cmpour1 unitésurl’axedesabscisseset0,5cmpour1unitésurl’axedesordonnées). 4. LebutdecettequestionestderésoudredansRl’équation: (E): f(x)=g(x).¡ ¢ ¡ ¢ 5x 5xa. Montrerque(E)s’écritaussi: e 2+ e −30=0. 2b. RésoudredansRl’équation:X +X−30=0. ln5 c. Endéduireque estl’uniquesolutiondel’équation(E). 5 5. Dans cette question, on considère la partie du plan située au dessus de l’axe desabscisses. Hachurer sur le graphique de la question 3 le domaine situé à la fois sous la courbede f etsouslacourbedeg,etlimitéparlesdroitesd’équationx=0et x=0,5. 2Calculer,encm ,l’aireA decedomaine. −1Donnerlavaleurexactedel’aireA puisunevaleurapprochéeà10 près. EXERCICE 2 5points Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité Onconsidèreunegrandepopulationd’acheteursdeyaourts. Onsupposequel’effectifdecettepopulationeststable. UneentreprisecommercialisedesyaourtssouslamarqueY. 30%desacheteursdeyaourtsachètentlamarqueY. L’entreprisedécidedefaireunecampagnepublicitairepouraméliorersesventes. Auboutd’unesemaine,uneenquêteindiqueque: •20%desacheteursdeyaourtsquiachetaientlasemaineprécédentedesyaourts desautresmarquesachètentmaintenantdesyaourtsY. •10%desacheteursdeyaourtsquiachetaientlasemaineprécédentedesyaourts Yachètentmaintenantdesyaourtsdesautresmarques. L’entreprise continue sacampagne publicitaire.Onfaitl’hypothèse quel’évolution desrésultatsobtenusàl’issue delapremièresemainedecampagnepublicitaireest lamêmelessemainessuivantes. 1. Dessinerlegrapheprobabilistecorrespondantàcettesituation. 2. Soit X =(0,3 0,7)lamatricelignedécrivantl’étatinitialdelapopulation.0 a. Donnerlamatricedetransition(notéeA)associéeaugrapheprécédent. b. Déterminer la probabilité qu’un acheteur de yaourts choisi au hasard après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de lamarqueY.BaccalauréatES BaccalauréatESseptembre2004  Ã ! Ã !  2 1 1 1 n n + 0,7 − 0,7  3 3 3 3n  Ã ! Ã !3. Onadmetquepourtoutentiernatureln ona:A = 2 2 1 2 n n− 0,7 + 0,7 3 3 3 3 Avec l’hypothèse ci-dessus, l’entreprise peut-elle espérer atteindre une part demarchéde70%?Justifier. EXERCICE 2 5points Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité ′Onconsidèreunefonction f définieetdérivablesur[0,5;4].Onnote f lafonction dérivéedelafonction f. Onnote(C)lacourbereprésentativedelafonction f dansleplanmunid’unrepère orthogonal(O,I,J). Lacourbe(C)estreprésentéeci-dessous. Lacourbe(C)passeparlepointAetadmetladroite(AD)pourtangenteenA. La courbe (C) passe par le point B, d’abscisse e, et en B elle admet une tangente horizontale. Onrappellequeeestlenombreréeltelquelne=1. B D A 2 J O eI 2 3 1. Enutilisantlesdonnéesgraphiques,donnersansjustification: a. le nombre de solutions sur l’intervalle [0,5; 4] del’équation f(x)=6, et unevaleurapprochéeà0,25prèsdessolutionséventuelles. ′b. Lesignedeladérivée f delafonction f surl’intervalle[0,5;4]. ′ ′c. Lesvaleursde f (1)et f (e).Z2 2. Justifierque:36 f(x)dx67. 1 3. Soith, g et j lesfonctions définiespourtoutréel x del’intervalle [0,5; 4]res- pectivementpar: e 2 h(x)=(4x)(1−lnx) g(x)= −1 j(x)= (x−e)(x−3). x e−1 Parmicestroisfonctions,deuxnepeuventpasêtreladérivéedelafonction f. Lesquelles? Pourquoi? EXERCICE 3 8points Communàtouslescandidats Francemétropolitaine 7BaccalauréatES BaccalauréatESseptembre2004 Unjeutélévisé sedéroulesur quatresemaines maximum, etestorganisédelama- nièresuivante: Uncandidatseprésentelapremièresemaineetjoueunepartie. S’illagagne,ilalapossibilitédepoursuivreendeuxièmesemaineoudes’arrêter. S’illaperd,ilestéliminé. Lemêmeprocessuss’appliqueendeuxièmeettroisièmesemaine. Àl’issuedelaquatrièmepartielejeus’arrête,quelecandidataitgagnéouperdu. Uncandidatayantjouéetgagnélesquatrepartiesestdéclaré«grandgagnant».On admetquepouruncandidatdonné,laprobabilitédegagnerunepartieestlamême 3 chaque semaine et vaut . On admet également, qu’un candidat ayant gagné une 5 1 partiedécided’arrêterlejeuavecuneprobabilitéde . 10 1. On adessiné le début d’un arbremodélisant le fonctionnement du jeu, pour uncandidatdonné. Compléter sur la feuille ANNEXE (à rendre avec la copie) l’arbre identique à celui-ci,etindiquersurchaquebranchelesprobabilitéscorrespondantes. G désigne l’évènement : le1 candidat gagne la première partie. P désigne l’évènement : le1 C candidat perd la première2Décision partie. C désigne l’évènement : le1G2e2 partie candidatdécidedecontinuer le jeu après la première par- C A1 2 tie.Décision A1 désigne l’évènement : le G P candidat décide d’arrêter le1 2re1 partie jeuaprèslapremièrepartie. On définit de même les évè-A1 nements G , G , G , P , P ,2 3 4 2 3 P ,A etA .4 2 3 P1 2. Calculerlaprobabilitéquelecandidatgagnelapremièrepartieetarrêtelejeu. 3. Montrer que la probabilité que le candidat arrête le jeu après avoir gagné la deuxièmepartieest0,0324. 4. Calculer laprobabilitéquelecandidatsoit«grandgagnant»(donneruneva- −4leurapprochéeà10 près). 5. On attribue un gain de 100 € à un candidat qui gagne la première partie et décided’arrêterlejeu. On attribue un gain de1000 € àun candidat qui agagné les deux premières partiesetdécided’arrêterlejeu. Onattribueungainde10000 € àuncandidatquiagagnélestroispremières partiesetdécided’arrêterlejeu. Onattribueungainde100000 € àuncandidat«grandgagnant». Danstouslesautrescas,lecandidataperduetnegagnerien. Ondonneletableausuivantdontunecasen’apasétéremplie: Gain 0€ 100€ 1000€ 10000 € 100000 € Probabilité (exacteou 0,06 0,0324 0,0175 0,0945 arrondie) a. Quevautlaprobabilitémanquante?Justifierlaréponse. Francemétropolitaine 8BaccalauréatES BaccalauréatESseptembre2004 b. Donner une valeur approchée de l’espérance mathématique du gain à 1€ près. c. Interprétercerésultat. Francemétropolitaine 9BaccalauréatES BaccalauréatESseptembre2004 ANNEXE Exercice3 Àrendreaveclacopie C2 Décision G2e2 partie C A1 2 Décision G P1 2re1 partie 3 1 5 10 A1 P1 Francemétropolitaine 10