BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement de Spécialité - Session 2010

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Session 2010 BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement de Spécialité Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6 . Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Page 1 / 6

  • seconde similitude

  • équipe d'archéologie préventive

  • barycentre du système de points

  • similitude directe

  • triangle cha en le triangle ahb

  • probabilité égale

  • ecriture complexe

  • candidat


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 37
Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 6
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BACCALAUREAT GENERAL
MATHEMATIQUES Série S
Enseignement de Spécialité
Durée de lépreuve : 4 heures
Coefficient : 9
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
Lutilisation dune calculatrice est autorisée.
Session 2010
Le cândidât doit trâiter tous les exercices. Lâ quâlité de lâ rédâction, lâ clârté et lâ précision des râisonnements entreront pour une pârt importânte dâns lâppréciâtion des copies.
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EXERCICE 1 (4 points ) (Commun à tous les candidats) Cet exercice est un QCM qui comporte 8 questions, numérotées de 1 à 8. À châque question, une seule des trois réponses notéea,boucest exâcte. On demânde âu cândidât dindiquer sur sâ copie, pour châque question, quelle est lâ bonne réponse. Aucune justificâtion nest demândée. Une réponse exâcte râpporte 0,5 point. Une réponse fâusse ou une âbsence de réponses nenlèvent pâs de point. z G H I Dans lespace rapporté à un repère or-! " D E F thonormalO, i, j, k, on consi-y O JK dère les points :A(1,0,0),B(1,1,0), C(1,2,0),D(1,0,1),E(1,1,1),F(1,2,1), G(0,0,1),H(0,1,1),I(0,2,1),J(0,1,0), A B C K(0,2,0)comme indiqués sur le figure x ci-contre :
Question 1.Le triangleGBIest : Réponsea :isocèle. Réponseb :équilatéral.
Réponsec :rectangle.
Question 2.Le barycentre du système de points pondérés{(O,2),(A,1),(C,1)}est : Réponsea :le pointK. Réponseb :le pointI. Réponsec :le pointJ. 3.Le produit scalaireAH .F Cest égal à : Réponsea :1. Réponseb :1. Réponsec :2.
4.Les pointsB,C,I,H: Réponsea :Réponsesont non copla-b :Réponseforment un rec-c :forment un carré. naires. tangle.
Question 5.Une représentation paramétrique de paramètretde la droite(KE)est :  x=tx= 3 + 4tx= 1t Réponsea :y= 2 +t. Réponseb :y=t. Réponsec :y= 1 +t.  z=t z= 4t z= 1t
Question 6.Une équation cartésienne du plan(GBK)est : Réponsea :2x+ 2yz2 = 0. Réponseb :x+y3 = 0. Réponsec :x+y+ 2z= 2.
Question 7.La distance du pointCau plan(ADH)est : Réponsea :2. Réponseb :2.
Question 8.Le volume du tétraèdreH J KBest égal à : 1 1 Réponsea :. Réponseb :. 2 6 Page 2 / 6
1 Réponsec :. 2
1 Réponsec :. 3
EXERCICE 2 (5 points ) (Réservé aux candidats ayant suivi lenseignement de spécialité) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(, vA, u). Lunité graphique est 1 cm. π On noteile nombre complexe de module1et dargument. 2 On considère les pointsB,CetHdaffixes respectives : b= 5i,c= 10eth= 2 + 4i. Construire une figure que lon complèterâ âu fur et à mesure des questions.
1. Etudede la position du pointH a)Démontrer que le pointHappartient à la droite(BC). ! " hπ b)Calculer eten déduire queH C,H A=[2π]. hc2
2. Etudedune première similitude BH BAAH a)., etCalculer les rapports : AH ACCH rect quitransforme le triangleen le b)eDémontrer quil existe une similitude diS1CH A triangleAH B. nsi que ses éléments caractéristiques. c)Déterminer lécriture complexe de cette similitudeS1ai
3. Etudedune seconde similitude Dâns cette question, toute trâce de recherche, même incomplète, ou dinitiâtives, même infructueuses, serâ prise en compte dâns lévâluâtion. ! ! On notela similitude qui à tout pointdaffixe associele pointdaffixe telleque : S2M zM z ! z= (12i)z+ 10. Démontrer queSest composée dune symétrie orthogonale daxe(Δ), et dune similitude directe 2 dont le centreΩappartient à(Δ). Préciser(Δ).
4. Etudedune composée a)Calculer le rapport de la similitude composéeSS. 2 1 b)En déduire le rapport entre les aires des trianglesCH AetBAC.
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EXERCICE 3 (5 points ) (Commun à tous les candidats)
Avant le début des travaux de construction dune autoroute, une équipe darchéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsque len-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. sitif » es, ilitéde lévénement Lévénement :  len-ième sondage est poon notepnla probab t notéVn . Vn Lexpérience acquise au cours de ce type dinvestigation permet de prévoir que : si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à0,6dêtre aussi positif; si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à0,9dêtre aussi négatif. On suppose que le premier sondage est positif, cest-à-direp= 1. 1
1.Calculer les probabilités des événements suivants : a)A:  les2-ième et3-ième sondages sont positifs » ; b)B:  les2-ième et3-ième sondages sont négatifs ».
2.Calculer la probabt positif.que leé pour ilitp33-ième sondage soi
3.ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à2. Recopier et compléter larbre ci-dessous en fonction des données de lénoncé : Vn+1
pn
1pn
Vn+1 Vn+1
Vn+1
4.lir que.Pour tout entier nat urelnnon nul, étabpn+1= 0,5pn+ 0,1
5.On notela suite définie, pour utout entier naturelnnon nul, par :un= pn0,2. a)Démontrer queuest une suite géométrique. En préciser le premier terme et la raison. b)Exprim nctionde . erpnen fon c)., de la probabtend versCalculer la limite, quand n+ilitépn
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EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
Lobjectif de lexercice est létude dune fonction et dune suite liée à cette fonction.
Partie A On notefla fonction définie sur lintervalle+]0 ;[par : 1 1 f(x) =e. x 2 x ! " On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthonormal, jO, i. Lunité graphique est1cm.
1. Etudedes limites a)Déterminer la limite de la fonctionfquandxtend vers0. b)Déterminer la limite de la fonctionfquandxtend vers+. c)Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbeC?
2. Etudedes variations de la fonctionf a)Démontrer que la fonction dérivée de la fonctionfsexprime, pour tout réelxstrictement positif, par : 1 1 ! f(x) =e(2x+ 1). x 4 x ! b)Déterminer le signe defet en déduire le tableau de variation defsur lintervalle+]0 ;[. c)Démontrer que léquationf(x) = 2a une unique solution notéeαappartenant à lintervalle ]0 ;+[et donner la valeur approchée deαarrondie au centième. ! " 3.Tracer la courbeCdans le repère orthonormal, jO, i.
Partie B Etude dune suite dintégrales Pour tout entier natureln!2, on considère lintégraleIdéfinie par : n & 2 1 1 x In=e dx. n 1x
1.CalculerI. 2
2. Unerelation de récurrence a)Démontrer à laide dune intégration par parties que, pour tout entier natureln!2: e In+1=e+ (1n)In. n1 2 . b)CalculerI3
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3. Etudede la limite de la suite de terme généralI n a)Etablir que pour tout nombre réelxappartenant à lintervalle[1 ;2], on a : 1e 1 0"e". x n n x x un encadrement deI b)En déduirenpuis étudier la limite éventuelle de la suite(I). n
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