BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement de Spécialité - Session 2010

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Session 2010 BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement de Spécialité Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6 . Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Page 1 / 6

  • durée de vie

  • solution unique dans l'intervalle

  • triangle abc en le triangle mnp

  • a4 d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives

  • xex ?

  • point d'abscisse


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 6
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BACCALAUREAT GENERAL
MATHEMATIQUES Série S
Enseignement de Spécialité
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 9
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Session 2010
Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
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EXERCICE 1 (4 points ) (Commun à tous les candidats)
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Question 1   Dans l'espace muni d'un repère orthonormal, k, jO, i, on considère les droites(D1)et(D2) de représentations paramétriques :   x=1 + 2t x= 12t   (D1)y=3t(tR)et(D2)y= 5t(tR). z= 1 +t z=2 +t
Affirmation : Les droites(D1)et(D2)sont orthogonales.
Question 2   Dans l'espace muni d'un repère orthonormalO, i, k, j, on considère le pointAde coordonnées (2 ;1 ;3)et la droite(D)de représentation paramétrique : x= 1 + 4t (D)y=2 + 2t(tR). z= 32t
Affirmation : Le plan(P)contenant le pointAet orthogonal à la droite(D)a pour équation :2x+yz= 0.
Question 3 La durée de vie, exprimée en heures, d'un jeu électronique, est une variable aléatoireXqui suit la loi exponentielle de paramètreλ= 0,000 3. Z t λx On rappelle que, pour toutt>0,p(X6t) =λe dx. 0 Affirmation : La probabilité pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à2 000heures est infé-rieure à0,5.
Question 4 AetBsont deux événements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : p(A) = 0,4,pA(B) = 0,7et(B) = 0,1. A Affirmation : 14 La probabilité de l'événementAsachant que l'événementB.est réalisé est égale à 41
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EXERCICE 2 (5 points ) (Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct(, vO, u)d'unité graphique 1 cm. On considère les pointsA,B,C,M,NetPd'affixes respectives :
a= 1 +i,b=1 + 2i,c= 2 + 3i,m= 75i,n= 5ietp= 9 +i.
1. a)Placer les pointsA,B,C,M,NetPdans le repère. b)Calculer les longueurs des côtés des trianglesABCetM N P. c)En déduire que ces deux triangles sont semblables. Dans la suite de l'exercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangleABCen le triangleM N P.
2. Unesimilitude directe Soitsla similitude directe qui transforme le pointAenNet le pointBenP. a)Montrer qu'une écriture complexe de la similitudesest :   6 823 9 z=− −i z+ +i. 5 55 5
b)é, ainsi que le centre de laDéterminer le rapport, la valeur de l'angle arrondie au degr similitudes. c)Vérifier que la similitudestransforme le pointCenM.
3. Unesimilitude indirecte Soitsla similitude dont l'écriture complexe est :
z= 2iz+ 33i. s(A) =N a)Vérifier que :s(B) =M. s(C) =P b)Démontrer quesadmet un unique point invariantKd'affixek= 1i. 1 c)Soithl'homothétie de centreKetet de rapportJle point d'affixe2. 2 On pose :f=sh. Déterminer les images des pointsKetJpar la transformationf. En déduire la nature précise de la transformationf. d)Démontrer que la similitudesest la composée d'une homothétie et d'une réflexion.
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EXERCICE 3 (6 points ) (Commun à tous les candidats)
x2 On considère les deux courbes(C1)et(C2)d'équations respectivesy=eety=x1dans un repère orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver qu'il existe une unique t angenteTcommune à ces deux courbes.
1.mativement une telle tangente à l'aideSur le graphique représenté dans l'annexe 1, tracer approxi d'une règle. Lire graphiquement l'abscisse du point de contact de cette t angente avec la courbe(C1)et l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe(C2).
2.On désigne paraetbdeux réels quelconques, parAle point d'abscisseade la courbe(C1)et par Ble point d'abscissebde la courbe(C2). a)Déterminer une équation de la tangente(TA)à la courbe(C1)au pointA. b)Déterminer une équation de la tangente(TB)à la courbe(C2)au pointB. c)En déduire que les droites(TA)et(TB)sont confondues si et seulement si les réelsaetbsont solutions du système(S): a e=2b . a a2 eae=b1
d)Montrer que le système(S)est équivalent au système(S): a e=2b . 2a aa e+ 4ae4e4 = 0
3.réel solution de l'équationLe but de cette question est de prouver qu'il existe un unique 2x xx (E):e+ 4xe4e4 = 0. Pour cela, on considère la fonctionfdéfinie surRpar : 2xx x f(x) =e+ 4xe4e4.
2x x a)Montrer que pour tout réelxappartenant à]− ∞; 0[,e4<0et4e(x1)<0. b)En déduire que l'équation(E)n'a pas de solution dans l'intervalle]− ∞; 0[. c)Démontrer que la fonctionfest strictement croissante sur l'intervalle[0 ;+[. d)Démontrer que l'équation(E)admet une solution unique dans l'intervalle[0 ;+[. 2 On noteacette solution. Donner un encadrement d'amplitude10dea.
1 4.On prend pourAle point d'abscissea. Déterminer un encadrement d'amplitude10du réelb pour lesquels les droites(TA)et(TB)sont confondues.
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EXERCICE 4 (5 points ) (Commun à tous les candidats)
Soitfla fonction définie sur l'intervalle[0 ;+[par : 5 f(x) = 6. x+ 1 Le but de cet exercice est d'étudier des suites(un)définies par un premier terme positif ou nulu0et vérifiant pour tout entier natureln: un+1=f(un).
1. Etudedes propriétés de la fonctionf a)Etudier le sens de variation de la fonctionfsur l'intervalle[0 ;+[. b)Résoudre dans l'intervalle+[0 ;[l'équationf(x) =x. On noteαla solution. c)Montrer que sixappartient à l'intervalle[0 ;α], alorsf(x)appartient à l'intervalle[0 ;α]. De même, montrer que sixappartient à l'intervalle[α; +[, alorsf(x)appartient à l'intervalle[α; +[.
2. Etudede la suite(un)pouru0= 0 Dans cette question, on considère la suite(un)définie paru0= 0et pour tout entier natureln: 5 un+1=f(un) = 6. un+ 1 a)Sur le graphique représenté dans l'annexe 2, sont représentées les courbes d'équationsy=x ety=f(x). Placer le pointA0de coordonnées(u0; 0)et, en utilisant ces courbes, construire à partir du pointA0les pointsA1,A2,A3etA4d'ordonnée nulle et d'abscisses respectivesu1,u2,u3 etu4. Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite(un)? b)Démontrer, par récurrence, que pour tout entier natureln,06un6un+16α. c)En déduire que la suite(un)est convergente et déterminer sa limite.
3. Etudedes suites(un)selon les valeurs du réel positif ou nulu0 Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite(un)suivant les valeurs du réel positif ou nulu0?
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FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)
Annexe1 (Exercice 3, question 1)
4 3 2 1
54322 3 41 1 1 2 3 4 5 Annexe 2 (Exercice 4, question 2.a)
9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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