BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement de Spécialité - Session 2009

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Session 2009 BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement de Spécialité Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5 . Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Page 1 / 5

  • précision des raisonnements

  • formule du binôme de newton

  • reste dans la division euclidienne

  • écriture décimale du cube


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 34
Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 5
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BACCALAUREAT GENERAL
MATHEMATIQUES Série S
Enseignement de Spécialité
Durée de lépreuve : 4 heures
Coefficient : 9
Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
Lutilisation dune calculatrice est autorisée.
Session 2009
Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.
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EXERCICE 4 (5 points ) (Candidats ayant suivi lenseignement de spécialité)
Le but de lexercice est de montrer quil existe un entier naturelndont lécriture décimale du cube se 3 termine par2009, cest-à-dire tel quen2009mod10000. Partie A
2 1.Déterminer le reste de la division euclidienne de2009par16.
8001 2.En déduire que20092009mod16. Partie B On considère la suite(un)finie surNpar : 2 5 . r tout entier natureln,un+1= (un+ 1)1 u0= 20091et, pou
divisible par. 1. a.Démontrer queu0est5 b.Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier natureln
4 32 u=u[u+ 5(u+ 2. n+1nn n+ 2unun+ 1)]
n+1 c.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,uest divisible par5. n
250 250 2. a.Vérifier qmod .puis en déduire que ueu3= 20091 20091 625 8001 b.Démontrer alors que20092009mod625. Partie C
1.En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer 8001 que20092009est divisible par10 000.
2.Conclure, cest-à-dire déterminer un entier naturel dont lécriture décimale du cube se termine par2009.
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