BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement de Spécialité - Session 2008

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Session 2008 BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement de Spécialité Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Page 1 / 7

  • entiers véri

  • couple d'entiers relatifs

  • p1 ?

  • propriétés géométriques des points correspondants du réseau

  • réseau

  • relation entre les arguments de z


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Session 2008
BACCALAUREAT GENERAL
MATHEMATIQUES
Série S
Enseignement de Spécialité
Durée de l’épreuve : 4 heures
Coefficient : 9
Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7.
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l’appréciation des copies.
Page 1 / 7EXERCICE 1 (4 points )
(Commun à tous les candidats)
Partie A - Vrai ou faux ?
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démons-
tration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à
proposer un contre-exemple : une figure pourra constituer ce contre-exemple.
Rappel des notations.
•P ∩P désigne l’ensemble des points communs aux plansP etP .1 2 1 2
• L’écritureP ∩P =∅ signifie que les plansP etP n’ont aucun point commun.1 2 1 2
1) SiP ,P etP sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :1 2 3
P ∩P =∅ etP ∩P =∅,1 2 2 3
alors on peut en conclure queP etP vérifientP ∩P =∅.1 3 1 3
2) SiP ,P etP sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :1 2 3
P ∩P ∩P =∅,1 2 3
alors on peut en conclure queP ,P etP sont tels que :1 2 3
P ∩P =∅ etP ∩P =∅.1 2 2 3
3) SiP ,P etP sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :1 2 3
P ∩P =∅ etP ∩P =∅,1 2 1 3
alors on peut conclure queP etP vérifientP ∩P =∅.2 3 2 3
4) SiP etP sont deux plans distincts etD une droite de l’espace vérifiant :1 2
P ∩D =∅ etP ∩P =∅,1 1 2
alors on peut en conclure queP ∩D =∅.2
Partie B
Dans un repère orthonormal de l’espace, on considère les trois plans suivants :
•P d’équationx+y−z = 0 ;1
•P d’équation2x+y +z−3 = 0 ;2
•P d’équationx+2y−4z +3 = 0.3
1) Justifier que les plansP etP sont sécants, puis déterminer une représentation paramétrique1 2
de leur droite d’intersection, notée Δ.
2) En déduire la nature de l’intersectionP ∩P ∩P .1 2 3
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6666666EXERCICE 2 (5 points )
(Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)
Soita etb deux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiersa etb l’ensemble
des points du plan, muni d’un repère orthonormal, dont les coordonnées (x,y) sont des entiers véri-
fiant les conditions :06x6a et 06y6b. On noteR ce réseau.a,b
Le but de l’exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiersx ety à des propriétés
géométriques des points correspondants du réseau.
Partie A. Représentation graphique de quelques ensembles
Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d’un graphique qui
sera dûment complété.
Représenter graphiquement les pointsM(x,y) du réseauR vérifiant8,8
1)x≡ 2 (modulo3) ety≡ 1 (modulo3), sur le graphique ci-dessous :
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2)x+y≡ 1 (modulo3), sur le graphique ci-dessous :
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb3)x≡y (modulo3) sur le graphique ci-dessous :
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Partie B. Résolution d’une équation
On considère l’équation(E) : 7x−4y = 1, où les inconnuesx ety sont des entiers relatifs.
1) Déterminer un couple d’entiers relatifs(x ,y ) solution de l’équation(E).0 0
2) Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation(E).
3) Démontrer que l’équation (E) admet une unique solution (x,y) pour laquelle le point M(x,y)
correspondant appartient au réseauR .4,7
Partie C. Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau
Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [OA] du réseau R aveca,b
O(0,0) etA(a,b).
1) Démontrer que les points du segment[OA] sont caractérisés par les conditions :
06x6a ; 06y6b ; ay = bx.
2) Démontrer que sia etb sont premiers entre eux, alors les pointsO et A sont les seuls points du
segment[OA] appartenant au réseauR .a,b
3) Démontrer que sia etb ne sont pas premiers entre eux, alors le segment[OA] contient au moins
un autre point du réseau.
′ ′(On pourra considérer le pgcdd des nombresa etb et posera = da etb =db .)
Page 4 / 7
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbEXERCICE 3 (4 points )
(Commun à tous les candidats)
→− −→Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, u, v ). On prendra pour le dessin
−→kuk = 4 cm.
′ ′M est un point d’affixez non nul. On désigne parM le point d’affixez telle que :
1′z =−
z
oùz désigne le conjugué du nombre complexez.
Partie A. Quelques propriétés
′1) Soitz un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules dez etz , puis
′une relation entre les arguments dez etz .
′2) Démontrer que les pointsO,M etM sont alignés.
3) Démontrer que pour tout nombre complexez non nul, on a l’égalité :
1
′z +1 = (z−1).
z
Partie B. Construction de l’image d’un point
On désigne parA etB les deux points d’affixes respectives1 et−1.
On noteC l’ensemble des pointsM du plan dont l’affixe vérifie :
|z−1| = 1.
1) Quelle est la nature de l’ensembleC ?
2) SoitM un point deC d’affixez, distinct du pointO.
′ ′a) Démontrer que|z +1| =|z|. Interpréter géométriquement cette égalité.
′ ′ ′b) Est-il vrai que siz vérifie l’égalité|z +1| =|z|, alorsz vérifie l’égalité|z−1| = 1 ?
3) Tracer l’ensembleC sur une figure. SiM est un point deC , décrire et réaliser la construction
′du pointM .
Page 5 / 7EXERCICE 4 (7 points )
(Commun à tous les candidats)
Partie A. Restitution organisée de connaissances
xe
On suppose connu le résultat suivant : lim = +∞.
x→+∞ x
−xDémontrer que lim xe = 0.
x→+∞
Partie B. Restitution organisée de connaissances
On considère la fonctionf définie surR par :
−xf(x) = (x+1)e .

→− →−
On noteC sa représentation graphique dans un repère orthonormé O, i , j du plan.
On prendra 4 cm pour unité graphique.
1) Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes.
La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront
prises en compte dans la notation.
Etudier les variations de la fonctionf et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer
ces éléments dans un tableau de variation le plus complet possible.
2) Tracer la courbeC . On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
Partie C. Etude d’une famille de fonctions
Pour tout entier relatifk, on notef la fonction définie surR par :k
kxf (x) = (x+1)e .k
On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal du plan.k k
On remarque que le cask =−1 a été traité dans la partie B, car on af = f etC =C .−1 −1
1) a) Quelle est la nature de la fonctionf ?0
b) Déterminer les points d’intersection des courbesC etC .0 1
Vérifier que, pour tout entierk, ces points appartiennent à la courbeC .k
2) Etudier, suivant les valeurs du réelx, le signe de l’expression :
x(x+1)(e −1).
En déduire, pourk entier relatif donné, les positions relatives des courbesC etC .k k+1
′3) Calculerf (x) pour tout réelx et pour tout entierk non nul.k
En déduire le sens de variation de la fonctionf suivant les valeurs dek.k
(On distinguera les cas :k > 0 etk < 0.)
Page 6 / 74) Le graphique suivant représente quatre courbesE ,F ,H etK , correspondant à quatre valeurs
différentes du paramètrek, parmi les entiers−1,−3, 1 et 2.
Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
K
2 H
1
E
K F
−2 −1 1 2
H
−1
−2
E F
−3
−4
−5
Partie D. Calcul d’une aire plane
Soitλ un réel strictement positif. La fonctionf est celle définie dans la partie B.
1) A l’aide d’une intégration par parties, calculer le nombre :
Z λ
A(λ) = f(t) dt.
0
2) Déterminer lim A(λ). Interpréter graphiquement le résultat.
λ→+∞
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