BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement Obligatoire - Session 2010 -

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Session 2010 BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement Obligatoire Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6 . Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Page 1 / 6

  • équations respectives

  • repère orthonormal

  • placer

  • a4 d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives

  • xex ?

  • affixe b? du point b?

  • point d'abscisse


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 6
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BACCALAUREAT GENERAL
MATHEMATIQUES Série S
Enseignement Obligatoire
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 7
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Session 2010
Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
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EXERCICE 1 (4 points ) (Commun à tous les candidats)
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Question 1   Dans l'espace muni d'un repère orthonormalO, i, k, j, on considère les droites(D1)et(D2) de représentations paramétriques :   x=1 + 2t x= 12t   (D1)y=3t(tR)et(D2)y= 5t(tR). z= 1 +t z=2 +t
Affirmation : Les droites(D1)et(D2)sont orthogonales.
Question 2   Dans l'espace muni d'un repère orthonormal, j, kO, i, on considère le pointAde coordonnées (2 ;1 ;3)et la droite(D)de représentation paramétrique : x= 1 + 4t (D)y=2 + 2t(tR). z= 32t
Affirmation : Le plan(P)contenant le pointAet orthogonal à la droite(D)a pour équation :2x+yz= 0.
Question 3 La durée de vie, exprimée en heures, d'un jeu électronique, est une variable aléatoireXqui suit la loi exponentielle de paramètreλ= 0,000 3. Z t λx On rappelle que, pour toutt>0,p(X6t) =λe dx. 0 Affirmation : La probabilité pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à2 000heures est infé-rieure à0,5.
Question 4 AetBsont deux événements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : p(A) = 0,4,pA(B) = 0,7et(B) = 0,1. A Affirmation : 14 La probabilité de l'événementAsachant que l'événementB.est réalisé est égale à 41
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EXERCICE 2 (5 points ) (Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement despécialité) Dans le plan complexe(P)muni d'un repère orthonormal direct(, vO, u)d'unité graphique 4 cm, on considère le pointAd'affixea=1et l'applicationf, du plan(P)dans lui-même, qui au point ′ ′ Md'affixez, distinct deA, associe le pointM=f(M)d'affixeztel que : iz z=. z+ 1 1.Déterminer l'affixe des pointsMtels queM=M.
2.Démontrer que pour tout pointMdistinct deAet deO, on a :    OM−−→π −→OM=etu , OM=M A, M O+à2πprès. AM2 1 3. a)SoitBle point d'affixeb=+i. 2 Placer dans le repère le pointBet la médiatrice(Δ)du segment[OA]. ′ ′ b)Calculer sous forme algébrique l'affixebdu pointBimage du pointBparf. Etablir queBappartient au cercle(C)de centreOet de rayon1. Placer le pointBet tracer le cercle(C)dans le repère. c)En utilisant la question 2, démontrer que, si un pointMappartient à la médiatrice(Δ), son imageMparfappartient au cercle(C). d)SoitCle point tel que le triangleOACsoit équilatéral direct. En s'aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l'image du point Cparf(on laissera apparent les traits de construction.)
4.Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble (Γ)des pointsMdistincts deAet deOdont l'imageMparfappartient à l'axe des abscisses. Les question a) et b) peuvent être traitées de façon indépendante. a)On posez=x+iyavecxetyréels tels que(x, y)6= (1,0)et(x, y)6= (0,0). Démontrer que la partie imaginaire dezest égale à : 2 2 x+y+x Im(z) =. 2 2 (x+ 1)+y En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble(Γ)et le tracer dans le repère. b)re de l'ensembleA l'aide de la question 2, retrouver géométriquement la natu(Γ).
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EXERCICE 3 (6 points ) (Commun à tous les candidats)
x2 On considère les deux courbes(C1)et(C2)d'équations respectivesy=eety=x1dans un repère orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver qu'il existe une unique t angenteTcommune à ces deux courbes.
1.Sur le graphique représenté dans l'annexe 1, tracer approximativement une telle tangente à l'aide d'une règle. Lire graphiquement l'abscisse du point de contact de cette t angente avec la courbe(C1)et l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe(C2).
2.On désigne paraetbdeux réels quelconques, parAle point d'abscisseade la courbe(C1)et par Ble point d'abscissebde la courbe(C2). a)Déterminer une équation de la tangente(TA)à la courbe(C1)au pointA. b)Déterminer une équation de la tangente(TB)à la courbe(C2)au pointB. c)En déduire que les droites(TA)et(TB)sont confondues si et seulement si les réelsaetbsont solutions du système(S): a e=2b . a a2 eae=b1
d)Montrer que le système(S)est équivalent au système(S): a e=2b . 2a aa e+ 4ae4e4 = 0
3.réel solution de l'équationLe but de cette question est de prouver qu'il existe un unique 2xx x (E):e+ 4xe4e4 = 0. Pour cela, on considère la fonctionfdéfinie surRpar : 2xx x f(x) =e+ 4xe4e4.
2x x a)Montrer que pour tout réelxappartenant à]− ∞; 0[,e4<0et4e(x1)<0. b)En déduire que l'équation(E)n'a pas de solution dans l'intervalle]− ∞; 0[. c)Démontrer que la fonctionfest strictement croissante sur l'intervalle[0 ;+[. d)Démontrer que l'équation(E)admet une solution unique dans l'intervalle+[0 ;[. 2 On noteacette solution. Donner un encadrement d'amplitude10dea.
1 4.On prend pourAle point d'abscissea. Déterminer un encadrement d'amplitude10du réelb pour lesquels les droites(TA)et(TB)sont confondues.
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EXERCICE 4 (5 points ) (Commun à tous les candidats)
Soitfla fonction définie sur l'intervalle+[0 ;[par : 5 f(x) = 6. x+ 1 Le but de cet exercice est d'étudier des suites(un)définies par un premier terme positif ou nulu0et vérifiant pour tout entier natureln: un+1=f(un).
1. Etudedes propriétés de la fonctionf a)Etudier le sens de variation de la fonctionfsur l'intervalle[0 ;+[. b)Résoudre dans l'intervalle[0 ;+[l'équationf(x) =x. On noteαla solution. c)Montrer que sixappartient à l'intervalle[0 ;α], alorsf(x)appartient à l'intervalle[0 ;α]. De même, montrer que sixappartient à l'intervalle[α; +[, alorsf(x)appartient à l'intervalle[α; +[.
2. Etudede la suite(un)pouru0= 0 Dans cette question, on considère la suite(un)définie paru0= 0et pour tout entier natureln: 5 un+1=f(un) = 6. un+ 1 a)ées les courbes d'équationsSur le graphique représenté dans l'annexe 2, sont représenty=x ety=f(x). Placer le pointA0de coordonnées(u0; 0)et, en utilisant ces courbes, construire à partir du pointA0les pointsA1,A2,A3etA4d'ordonnée nulle et d'abscisses respectivesu1,u2,u3 etu4. Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite(un)? b)Démontrer, par récurrence, que pour tout entier natureln,06un6un+16α. c)En déduire que la suite(un)est convergente et déterminer sa limite.
3. Etudedes suites(un)selon les valeurs du réel positif ou nulu0 Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite(un)suivant les valeurs du réel positif ou nulu0?
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FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)
Annexe1 (Exercice 3, question 1)
4 3 2 1
54321 12 3 4 1 2 3 4 5 Annexe 2 (Exercice 4, question 2.a)
9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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