BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement Obligatoire 2008

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Session 2008 BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement Obligatoire Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6 . Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Page 1 / 6

  • repère orthonormal direct du plan complexe

  • solution de l'équation

  • zc za

  • zb ?

  • complexes za

  • nature du quadrilatère ijkl


Publié le : mardi 19 juin 2012
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BACCALAUREAT GENERAL
MATHEMATIQUES Série S
Enseignement Obligatoire
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 7
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Session 2008
Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
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EXERCICE 1 (4 points ) (Commun à tous les candidats)
x 1.Soitfla fonction définie sur[0; +[parf(x) =etHla fonction définie sur[1; +[par x e1 Z x H(x) =f(t)dt. 1
a.Justifier quefetHsont bien définies sur[1; +[. b.Quelle relation existe-t-il entrefetH? c.SoitCla courbe représentative defdans un repère orthonormal(, jO, i). du plan. Interprétez en termes d'aire le nombreH(3).
2.On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombreH(3). x x e a.Montrer que pour tout réelx >0,=x. xx e1 1e Z   Z 3 3   1 1 x b.En déduire quef(x)dx= 3ln 1− −ln 1− −ln 1e dx. 3 e e1 1    1 1 x c.Montrer que si1x3, alorsln 1− ≤ln (1e)dxln 1. 3 e e Z Z 3 3   x d.En déduire un encadrement deln 1e dxpuis def(x)dx. 1 1
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EXERCICE 2 (5 points ) (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.
Partie A On suppose connus les résultats suivants : 1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixeszA,zBetzCtrois pointsA,BetC. Alors     zBzCCB zBzC−→=et arg=CA, CB(2π). zAzCCA zAzC
2. Soitzun nombre complexe etαun réel :z=esi et seulement si|z|= 1et arg(z) =θ+ 2, où kest un entier relatif. Démonstration de cours :démontrer que la rotationrd'angleαet de centreΩd'affixeωest la ′ ′ transformation du plan qui à tout pointMd'affixezassocie le pointMd'affixeztel que
zω=e(zω).
Partie B Dans un repère orthonormal direct du plan complexe(, vO, u)d'unité graphique 2 cm, on considère les pointsA,B,CetDd'affixes respectiveszA=3i,zB= 1i3,zC+= 3iet zD=1 +i3.
1. a.Donner le module et un argument pour chacun des quatre nombres complexeszA,zB,zCetzD. b.Comment construire à la règle et au compas les pointsA,B,CetDdans le repère(, vO, u)? c.Quelle est la nature du quadrilatèreABCD?
π 2.On considère la rotationrde centreBet d'angle. SoientEetFles points du plan 3 définis par :E=r(A)etF=r(C). a.Comment construire à la règle et au compas les pointsEetFdans le repère précédent ? b.Donner l'écriture complexe der. c.Déterminer l'affixe du pointE.
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EXERCICE 3 (4 points ) (Commun à tous les candidats)
On considère un tétraèdreABCD. On noteI,J,K,L, M,Nles milieux respectifs des arêtes[AB],[CD],[BC], [AD],[AC]et[BD]. On désigne parGl'isobarycentre des pointsA,B,Cet D.
1.Montrer que les droites(IJ),(KL)et(M N)sont concourantes enG. A Dans la suite de l'exercice, on suppose queAB=CD, BC=ADetAC=BD. (On dit que le tétraèdreABCD est équifacial car ses faces sont isométriques).
B
C
2. a.Quelle est la nature du quadrilatèreIJ KL? Préciser également la nature des quadrilatères IM J NetKN LM.
b.En déduire que(IJ)et(KL)sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (IJ)et(M N)sont orthogonales et les droites(KL)et(M N)sont orthogonales.
D
3. a.Montrer que la droite(IJ)est orthogonale au plan(M KN). b.Quelle est la valeur du produit scalaireIJ .M K? En déduire que(IJ)est orthogonale à la droite(AB). Montrer de même que(IJ)est orthogonale à la droite(CD). c.Montrer queGappartient aux plans médiateurs de[AB]et[CD]. d.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Comment démontrerait-on queGest le centre de la sphère circonscrite au tétraèdreABCD?
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EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat en fonction de l'année.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : un modèle discret
Soitunle nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'annéen. 1 On posen= 0en 2005,u0= 1et, pour toutn0,un+1=un(20un). 10
1 1.Soitfla fonction définie sur[0; 20]parf(x) =x(20x). 10 a.Etudier les variations defsur[0; 20]. b.En déduire que pour toutx[0; 10],f(x)[0; 10]. c.On donne ci-dessous la courbe représentativeCde la fonctionfdans un repère orthogonal. Représenter à l'aide de ce graphique les cinq premiers termes de la suite(un)n0sur l'axe des abscisses.
2.Montrer par récurrence que pour toutnN,0unun+110.
3.Montrer que la suite(un)n0est convergente et déterminer sa limite.
Partie B : un modèle continu
Soitg(x)le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'annéex. On posex= 0en2005,g(0) = 1etgest une solution qui ne s'annule pas sur[0; +[de l'équation différentielle 1 (E) :y=y(10y). 20 1 1.On considère une fonctionyqui ne s'annule pas sur[0; +[et on posez=. y a.Montrer queyest solution de(E)si et seulement sizest solution de l'équation différentielle : 1 1 (E1) :z=z+. 2 20 b.Résoudre l'équation(E1)et en déduire les solutions de l'équation(E). Page 5 / 6
10 2.Montrer quegest définie sur[0; +[parg(x) =1. x 9e+ 1 2
3.Etudier les variations degsur[0; +[.
4.Calculer la limite degen+et interprétez le résultat.
5.En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il5millions ?
12 y
10
8
6
4
2
x 2 4 6 810 12 14 16 18 20 22
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