BACCALAUREAT GENERAL Session 2006 MATHEMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT de SPECIALITE - Session 2006

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Session 2006 BACCALAUREAT GENERAL Session 2006 MATHEMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT de SPECIALITE Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1 à 6. 1

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 6
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BACCALAUREAT GENERAL
Session 2006
MATHEMATIQUES Série S
Session 2006
ENSEIGNEMENT de SPECIALITE
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1 à 6.
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EXERCICE 1 (4 points )
Commun à tous les candidats
Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d'un pays. Elletouche0,5%de ce cheptel (ou5pour mille).
1.?On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu'il soit malade
2. a)On choisit successivement et au hasard10animaux. On appelleXla variable aléatoire égale au nombre d'animaux malades parmi eux. Montrer queXsuit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique. b)On désigne parAl'événement : « aucun animal n'est malade parmi les10». On désigne par Bl'événement : « au moins un animal est malade parmi les10». Calculer les probabilités deA et deB.
3.On sait que la probabilité qu'un animal ait un test positif à cette maladie sachant qu'il est malade est0,8un test négatif est. Lorsqu'un animal n'est pas malade, la probabilité d'avoir0,9. On noteT l'événement : « avoir un test positif à cet maladie » etMl'événement : « être atteint de cette maladie ». a)Représenter par un arbre pondéré les données de l'énoncé. b)Calculer la probabilité de l'événementT. c)?Quelle est la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif
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EXERCICE 2 (5 points )
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Le plan est muni d'un repère orthonormal direct(O, u, v)(unité :1cm). On construira une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
π 1.SoitAle point d'affixe3, etrla rotation de centreOet d'angle. On noteB,C,D,EetFles 3 images respectives des pointsA,B,C,DetEpar la rotationr. 3 33 Montrer queBa pour affixe+i. 2 2 2.Associer à chacun des pointsC,D,EetFl'une des affixes de l'ensemble suivant : ( ) 3 33 33 33 33 3;+i;i;− −i. 2 22 22 2
3. a)Déterminerr(F). b)Quelle est la nature du polygoneABCDEF?
1π 4.Soitsla similitude directe de centreA. Soitet d'angle, de rapportsla similitude directe de 2 3 centreEtransformantFenC. ′ ′ a)Déterminer l'angle et le rapport des. En déduire l'angle et le rapport dess. b)Quelle est l'image du pointDparss? c)Déterminer l'écriture complexe dess.
5.SoitAle symétrique deApar rapport àC. ′ ′a)Sans utiliser les nombres complexes, déterminers(A), puis l'image deAparss. b)Calculer l'affixe du pointA. Retrouver alors le résultat dua)en utilisant l'écriture complexe dess.
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EXERCICE 3 (5 points )
Commun à tous les candidats
Soit la suite(un)définie pour tout entier naturelnpar :   1 12 u0=etun+1=un+. 2 2un
1. a)Soitfla fonction définie sur]0; +[par :   1 2 f(x) =x+. 2x
Étudier le sens de variation defèreet tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un rep orthonormal(, jO, i). (On prendra comme unité2cm.) −→ b)Utiliser le graphique précédent pour construire les pointsA0,A1,A2etA3de l'axe(O, i) d'abscisses respectivesu0,u1,u2etu3.
2. a)Montrer que pour tout entier naturelnnon nul :un2. b)Montrer que, pour toutx2,f(x)x. c)En déduire que la suite(un)est décroissante à partir du rang1. d)Prouver qu'elle converge.
3.Soitla limite de la suite(un). Montrer queest solution de l'équation :   1 2 x=x+. 2x En déduire sa valeur.
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EXERCICE 4 (6 points )
Commun à tous les candidats
Première partie L'espace est rapporté à un repère orthonormal(O, i, j, k). On considère : – lespointsA(0; 0; 3),B(2; 0; 4),C(1; 1; 2)etD(1;4; 0); – lesplans(P1):7x+ 4y3z+ 9 = 0et(P2):x2y= 0; – lesdroites1)et2)ectifs :définies par leurs systèmes d'équations paramétriques resp   x=1 +tx= 7 + 2t ′ ′ y=8 + 2t,tRety= 8 + 4t,tR.  z=10 + 5t z= 8t Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la question choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte0,5point ; une réponse inexacte enlève0,25point ; l'absence de réponse est comptée0point. Si le total est négatif, la note est ramenée à0.
1.Le plan(P1) est : 2.La droite1) contient : 3.Position rela-tive de(P1)et de 1): 4.Position rela-tive de1)et de 2): 3.L'intersection de(P1)et de (P2)est une droite dont une représentation paramétrique est :
a) le plan(ABC) le pointA 1)est strictement parallèle à(P1) 1)est strictement parallèle à2) x=t 1 y=2 +t 2 z= 3t
b) le plan(BCD) le pointB 1)est incluse dans(P1)
1)et2)sont confondues
x= 2t y=t z= 3 + 6t
c) le plan(ACD) le pointC 1)coupe(P1)
1)et2)sont sécantes
x= 5t y= 12t z=t
d) le plan(ABD) le pointD 1)est orthogonale à (P1) 1)et2)sont non coplanaires
x=1 +t y= 2 +t z=3t
Seconde partie L'espace est rapporté à un repère orthonormal(O, i;j , k). On considère la droite(D)passant par −→A(0; 0; 3)et dont un vecteur directeur estu(1; 0;1)et la droite(D)passant parB(2; 0; 4)et dont −→ un vecteur directeur estv(0; 1; 1). L'objectif est de démontrer qu'il existe une droite unique p erpendiculaire à la fois à(D)et à(D), de la déterminer et de dégager une propriété de cette droite.
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−−→ ′ ′ 1.On considère un pointMappartenant à(D)et un pointMappartenant à(D)définis parAM= −−→ −→−→ a uetBM=b v, oùaetbsont des nombres réels. −→ ′ ′ Exprimer les coordonnées deM, deM, puis du vecteurM Men fonction deaetb.
′ ′ 2.Démontrer que la droite(M M)est perpendiculaire à(D)et à(D)si, et seulement si, le couple 2a+b= 1 (a;b)est solution du système :. a+ 2b=1
3.Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques pointsMetM, que nous ′ ′noterons iciHetH, tels que la droite(H H)soit bien perpendiculaire commune à(D)et à(D). Montrer queH H= 3unités de longueur.
4.On considère un pointMquelconque de la droite(D)et un pointMquelconque de la droite(D). a)En utilisant les coordonnées obtenues à la question1., démontrer que :
22 2 2 M M= (a+b() +a1) +(b+ 1)+ 3.
′ ′b)En déduire que la distanceM Mest minimale lorsqueMest enHetMest enH.
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