BPT 2001 mathematiques a classe prepa pt

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51AZ7 * Banque filière PT +@ Epreuve de Mathématiques I-A Durée 4 h L’usage des machines à calculer est interdit. Les trois parties du problème sont indépendantes. On pourra traiter cer- taines questions en admettant les résultats des questions précédentes. On justifiera toutes les réponses. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction. Dans tout le problème, toutes les fonctions considérées seront à valeurs réelles. On note: - E l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, 51 dans lK . - C l’ensemble [0, i] x [O, %] c R2. - Ii’ la fonction définie sur C à valeurs dans lR donnée par : sin 5 COS y si x 5 y, K(x,y) = COS x sin y si x > y. { 1 Première partie Pour tout y de [0, t] on définit la fonction vy par : vx E [O, 517 (py(x> = K(x, Y). 1. Comparer K(x, y) et K(y, 2) pour (x, y) E C. Montrer que K est continue sur C. montrer que vY appartient à E. 2. Pour y E [O,:], Est-elle dérivable en tout point de [0, 51 ? Étudier les variations et tracer sommairement le graphe de chacune 5 et enfin pY pour une valeur de y quelconque des trois fonctions ‘ps, cp appartenant à 10, g[. 3. Déterminer la valeur des nombres m et A4 définis par les relations: et préciser les points de C où ces valeurs sont atteintes. 4. Calculer dans l’espace euclidien W3 le volume limité d’une part par le plan d’équation z = 0 et d’autre part par la surface d’équation 2 = qx, y). 5. Soit y E [O,;]. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction +, ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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