BPT 2004 mathematiques ii b classe prepa pt

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RS80 +$+ Banque filière PT +@ Epreuve de Mathématiques Il-B Durée 4 h L’usage de calculatrices est interdit L’objet de ce problème est de déterminer la forme générale sur ] O , + 00 [ des solutions de I’équation différentielle : x2y”+xy’+(x2-R2)y = O (@j où A est un réel positif non entier. 1. Etude de la fonction Bêta u et v étant des réels strictement positifs, on pose : tu-1 B(u,v) = j,’” dt . ( l+t)’+v 1. Pour tout entier n > 1 , on considère la fonctionf, définie par : f,(x)=osix~[~,n], On désigne parf la fonction définie par : f(~) = e -’ . a. Pour tout réel x strictement positif, déterminer la limite lorsque n tend vers + 00 de I -- ( ;y- b. n étant un entier supérieur à 1, on introduit la fonction définie par : pn (x)=f(x)-f,(X)si XE(IO,~I , pn (x)=osi x4[0,nl, Etudier les variations de pn ( Pour déterminer le signe de pn ’, on pourra étudier la fonction vn , définie sur [O,n[ par: yn (x) = (~1)h 1 - - + x ). ( 3 c. Montrer qu’il existe un unique réel an dans ] 1 , n [ tel que pn soit maximale en an . a d. que Q,, (a,) = 2 e -an . n 1 1 t-+ xe -’ ). e. Montrer que : O 5 (a n) I - ( on pourra par exemple étudier la fonction x ne f. Tracer le graphe de qn sur [ O, n 1. t ’- ’ dt . 2. a. Montrer que l’on peut écrire : B ( u , v )= 1; ( 1 -t ) b. Montrerque: B(u, v)=B(v, u). U c. Démontrer I’égalité suivante : B ( u + 1, v ) = - B ( u , v ) . u+v (XI= jl (1 -L) t x - 1 dt . 3. Pour tout entier n strictement supérieur à 1 et tout ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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