Capesext deuxieme composition de mathematiques 2005 capes maths capes de mathematiques

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– 2 –Sauf exceptions dumˆ ent signal´ees, chaque partie peut ˆetre trait´eeind´ependamment des autres.Dans tout le probl`eme, on se place dans le cadre d’un plan euclidien Π rapport´e→− −→`a un rep`ere orthonorm´e direct (O, ı ,  ) par rapport auquel les coordonn´eessont not´ees x et y. La droite Δ est d´efinie par son ´equation x =a ou` a est uneconstante r´eelle strictement positive; elle coupe l’axe des abscisses au point A.La notation :X ={M ϕ(x,y) = 0}d´esigne la partie X du plan d´efinie comme l’ensemble des points M dont lescoordonn´ees (x,y) v´erifient l’´egalit´eϕ(x,y) = 0; cette relation est alors appel´eeune´equation deX. Une d´efinition analogue est pos´ee dans le cas de coordonn´ees→−polaires (ρ,θ) par rapport au rep`ere form´e du pointO et de la demi-droiteR ı .+1 Premi`ere partieSoitk une constante r´eelle strictement positive. On note Φ la courbe d´ecrite parle point M de coordonn´ees :x =a+kcost, y =atant+ksinti h i hπ π π 3πou`td´ecritlar´eunion − , ∪ , .OnnoteH laprojectionorthogonale2 2 2 2de M sur Δ et Ω le point de Δ d’ordonn´ee atant.1.1 Dans le cas particuliera = 1,k = 2,´etudier la courbe Φ (variations,´etudeasymptotique, points singuliers, repr´esentation graphique...); on pourra s’aiderd’une calculatrice graphique.1.2 Donner l’allure de Φ dans le cas g´en´eral, en distinguant :a) les cas ou` 0a.1.3 D´eterminer une fonction polynomiale f `a deux variables telle quef(x,y) = 0 ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Saufexceptionsdˆumentsignal´ees,chaquepartiepeuteˆtretraite´e ind´ependammentdesautres.
Danstoutleproble`me,onseplacedanslecadredunplaneuclidienΠort´erapp `aunrepe`reorthonorme´direct(, O, ı)truapaopaprrseeonn´oordlescquel sontnote´esxety. La droiteΔoitantdne´sepaieonrsqu´ex=aou`aest une constanter´eellestrictementpositive;ellecoupelaxedesabscissesaupointA.
La notation :
X={M ϕ(x, y) = 0}
de´signelapartieXd´anniepldusdespointneesbmelcemoemlMdont les coordonne´es(x, y)eg´tlenierv´e´latiϕ(x, y) = 0easppteatlioornsrelale´teteec; une´equationdeXioitn´egulonana´soptseeelsnadeecasdecoordonn´eesnUde. −→ polaires(ρ, θ)aprrrtporeauerp`rofede´mioputnapOet de la demi-droiteR+ı.
Premie`repartie
Soitknocenutreslleer´teanstrapce´detiropisitevcietemtnlacourbe.OnnoteΦ le pointMonrdeesn:´dooec
x=a+kcost, y=atant+ksint i hi h π ππ3π ou`te´dlar´critoneuni,,. On noteHla projection orthogonale 2 22 2 deMΔedroodnne´esurΔetΩlepointdatant.
1.1Dans le cas particuliera= 1,kns,´atiovaribeΦ(ocrurealutid,2e´=dutee asymptotique,pointssinguliers,repre´sentationgraphique...);onpourrasaider d’une calculatrice graphique.
1.2eral´en´casgnsletn:gnausiite,dnonDderuadΦelrenllaa)lescaso`u0< k < a, b)lecasou`k=a, c)lescaso`uk > a.
1.3D´eterminerunefoitcnopnoonyllaimefeluqtslee`auxderivaleab f(x, y.Φedn=)tune0soiatio´equ
1.4eΦed.nurennoDtiuaeqe´irlapoon
1.5stnige´rlrenopseetD´mieruliersMde Φ et donner en ces points les coor-donne´esdunvecteurnormal.
1.6nidsretitcenoiotndspu´needrnoscooerlelculCaRde la normale enM avecladroited´equationy=atantu`osacedanslMs`pantiexeaaltrappan des abscisses. Que peut-on dire du triangleROΩ ?
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Deuxi`emepartie
Sonttraite´esiciquelquespropri´et´esdesconiquesexclusivementuti-lis´eesdanslestroisie`meetquatri`emeparties.
Unaxeestde´niparunedroiteD, un pointO1deDet un vecteur unitaire −→ udirigeantD. Pour tout couple(A, B)de points deD, on appelle mesure alge´briqueetlonnoteABneec´realidxBxAde leurs abscisses relatives au −→ repe`re(O1, u)pe´dnitsdetnadnerauerqmaeellequnoer:upointO1. La distance de deux pointsMetNdeelaupstnet´noM N. S’ils sont distincts, on note(M N)l’unique droite qui les joint.
Sur l’hyperbole
´ 2.1Eci-ene,ilutipecquroeuqi´ras,nalsniasdanslepdeThal`ee´roe`emirerelht santlesmesuresalge´briquesde´niesci-dessus:onsedonneradeuxaxesdistincts 0 00 coupant chacun un triplet de droites (D, D, Dtnossere`inrd)noltseedxued parall`elesetdisjointes,etlone´crira,sansjustication,uneconditionn´ecessaire etsusantesurlessixpointsdintersectionpourquelesdeuxpremie`resle soient,´eclaire´eparunegurea`mainlev´ee.
n point (O1y) points
2.2dΠnolpnaseudsixattrooienSunestnace´s,rsieempruxdeestl O1, sont respectivement l’axe des abscisses (O1xxeasodeonrdeen´slte) duncertainrep`ereane,letroisie`melescoupantrespectivementendeux distinctsUetV. Pour tout pointMde (U V), autre queUouV, on notePetQses projectionsrespectivessurchacundesdeuxaxesdecoordonne´esparalle`lement `alautre.D´eterminerluniquehyperboleHpassant parMet admettant (O1x) et (O1y) comme asymptotes (on pourra introduire les projections sur les axes 0 d’un point courantMdeH).
` 0 2.3delpmexerapediaAloinpntrtreuqu`lsem,noemedeThauth´eor`Mde (U V), distinct deM`at,airtanpepHeuqirte´edntslemetsymilesstueise,M par rapport au milieu de [U V].
2.4unreinpotisnonoltiafdnetpri´et´eobtient-QeullpeorNdeHversM?
Sur la parabole
Dans ce qui suit,Mest un point d’une parabolePde foyerF, de sommetSet de directriceD, etHsa projection orthogonale surD.
2.5SoitTaide´malsudecirt[ntmeegF H]. Montrer que, pour tout pointN deTeddrenti´eMet se projetant orthogonalement enKsurD, on dispose delin´egalit´eN F> NKlisecnoisnore`dnpeuntoiC.ree´ustltareste-t-ilvalabl 0 00 Ntel queN F >N H?
2.6ede´ce´raleuqetnteenngta`ae´udDelaqiredionpuestPenMest la m´ediatricedusegment[F H].
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2.7Quel est l’ensemble des projections orthogonales deFaenngs`terlsutaes la parabole?
2.8Ctnioier´c´ntpsieeladlsbetripeplopisrntcieodn´uentpaleatptueiqsuseas parrapporta`uncercle. a) SiAetBcevase´ngilatndspxiodtuesnolanΠedupercluncM, onde´nitlapuissancedeMpar rapport au cercle comme le nombre 2 M A.M Bs’ils sont distincts, etM As’ils sont confondus et siMap-´ partienta`latangenteenAbatE.hocalril.nieontitece´detere´decn b) Si (x0, y0nn´eesdeescoordoceuolpde)seltMeerp`ernua`sevitaler orthonorm´edanslequellecercleapoure´quation:
2 2 C(x, y) =x+y2ax2by+c= 0,
montrer que la puissance deMse´tgela`eaC(x0, y0). c) Quepeut-on dire des points de puissance nulle par rapport au cercle? d)D´eterminer(parexempleanalytiquement)laxeradicaldedeuxcercles decentresdistincts,cest-`a-direlelieudespointsayantmeˆmespuis-sancesparrapport`acescercles.
0 0 2.9Soit (M, M) un couple de points distincts deP,Ileur milieu etHetH leurs projections orthogonales respectives surD. a)De´terminerlensembledespointsayantmeˆmepuissanceparrapportaux 0 deux cercles passant parFreetr´esenemtnectnpsceitevMetM. b) SoitJexalednplacidarntilioctseertciridereuecQ.´eder´ecdelantet 0 peut-on dire du triplet de points (J, H, H) ?
2.10itt´neodee´sacotrldbetsidaelrpniicapeClertptpeoqiurees´Payant une directiondonn´ee. 0 a) Montrerque, lorsque l’on fait varier le couple (M, M)aelqunoc¸afed 0 droite (M M)ep,lntoitcoinexuaeniderall`ele`resteparI´editcrrolas unepartiedunedroiteorthogonalea`D. 0 b)Quedevientlacongurationpre´ce´dentelorsqueladroite(M M) devient tangente`alaparabole?Relierlagureainsiobtenueaure´sultatdela question 2.7. c)Soitunedroitequelconqueperpendiculaire`aD. Montrer qu’elle est unaxedesym´etrie(g´ene´ralementnonorthogonale)pourlaparabole etdonneruneconstructionge´ome´triquedeladirectionselonlaquelle sexercecettesyme´trie.
2.11SoitQun point dePdistinct deSet (N, M) un couple de points distincts dePaele`all`eparcord´edrmteaninnetuSQ. On noteLpeiolrpanied´nt N L=SQ,Arte´myselogonaldeiqueorthNro`tlaapraarppxeSFde la parabole, Ω etRepsersnoapsevitcle`ellral`antmejeorpxiatdceeselAet deQ sur (N Mtseupnoice´rede´elnteg´ital´e´edu).DelaqiredN L= ΩM. ´ Etendreler´esultataucasou`M=Noulo`ete(tiordalecalpmernN M) parlatangentea`PenN.
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