Capesext deuxieme composition de mathematiques 2006 capes maths capes de mathematiques

Publié par

1 Presentation´ du jeu.1.1 Les regles` du jeu.Le tournoi est un jeu comportant une suite de manches (appelees´ duels) opposantdeux joueurs, jamais plus. Les joueurs vont entrer en jeu successivement, tant qu’aucun d’entreeux n’aura et´ e´ declar´ e´ vainqueur, et forment ainsi une suite (J ,J ,...) aussi longue qu’il faudra,0 1ce qui nous conduit a` considerer´ une suite infinie de joueurs notee´ (J ) .n n∈NLe premier duel oppose J et J , le vainqueur reste en jeu et se voit opposer J qui entre pour le0 1 2deuxieme` duel. Plus gen´ eralement,´ len i eme` duel (n≥2) oppose le joueurJ , qui entre alors ennjeu, au vainqueur du duel prec´ edent,´ le perdant quittant le jeu.On convient enfin que le premier joueur qui remporte N duels, necessairement´ consecutifs,´ estdeclar´ e´ vainqueur et que le jeu prend fin. N est un entier fixe´ a` l’avance, au moins eg´ al a` 2, etvalable pour tout le deroulement´ du tournoi.Lebutdeceprobleme` estderendrecomptedecetypedejeuenenproposantdiversesmodelisations´probabilistes. On s’interessera´ ainsi plus particulierement` a` la duree´ du jeu, c’est a dire` au nom bre de duels ayant eu lieu avant la proclamation du vainqueur.1.2 Les regles` communes aux differ´ entes modelisations´ aleatoir´ es.La succession des duels en parfaitement decrite´ si on connait, pour chacun, les numeros´ desparticipants et le numero´ du gagnant, cela tant que le jeu continue, c’est a dire` tant qu’aucundes joueurs n’a et´ e´ declar´ e´ vainqueur ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 153
Nombre de pages : 7
Voir plus Voir moins
1Pr´esentationdujeu. 1.1 Lesre`gles du jeu. Letournoiest un jeu comportant une suite de manches (appele´esduels) opposant deux joueurs, jamais plus.Les joueurs vont entrer en jeu successivement, tant qu’aucun d’entre euxnaurae´te´d´eclare´vainqueur,etformentainsiunesuite(J0,J1, . . .) aussi longue qu’il faudra, infinie de joueurs n) cequinousconduit`aconsid´ererunesuiteote´e(Jn nN. Le premier duel opposeJ0etJ1, le vainqueur reste en jeu et se voit opposerJ2qui entre pour le deuxi`emeduel.Plusg´ene´ralement,lenie`me duel (n2) oppose le joueurJn, qui entre alors en jeu,auvainqueurduduelpr´ece´dent,leperdantquittantlejeu. On convient enfin que le premier joueur qui remporteNdus,elecn´saesmerictne´snotucesetfi,s de´clare´ vainqueur et que le jeu prend fin.Nutseaale`x´rientneomni´sgeavcn,euaal`a2,et valable pour tout le de´roulement du tournoi. Lebutdeceproble`meestderendrecomptedecetypedejeuenenproposantdiversesmod´elisations probabilistes.Onsint´eresseraainsiplusparticulie`rementa`ladure´edujeu,cesta`direaunombre de duels ayant eu lieu avant la proclamation du vainqueur.
1.2Lesre`glescommunesauxdiff´erentesmod´elisationsal´eatoires. Lasuccessiondesduelsenparfaitementd´ecritesionconnait,pourchacun,lesnum´erosdes participantsetlenum´erodugagnant,celatantquelejeucontinue,cesta`diretantquaucun desjoueursnae´t´ed´eclar´evainqueur.Onsupposeraquechaqueduelestunjeudehasard,on conside`rera ainsi lenreoiat´erpueevlamoemnue´emeduelci`En, dont on observera les re´sultats possibles. Onpr´esupposera,sanscherchera`lexpliciter,lexistencedunespacedeprobabilit´e(Ω,A,P) permettantdemode´liserlejeuetonsattachera`ade´crireluniversdespossibles,cest`adireles issuesdesdiffe´rentese´preuves,ainsiquelamani`eredontonaffectedesprobabilite´sauxre´sultats observ´es.Lesmod`elespropos´esdevrontrespecterlesre`glessuivantes: 1.Lepremierduel:laprobabilit´equelere´sultatdeE1soit 1 (J1est le gagnant du premier duel) estpu`o,pest un e´le´ment de]0,1[lbe`peoruoltnatsx´edctnateva0ltsu´eat,lme´eer laprobabilit´e(1p). 2. Lesduels successifs : (a) Pourn2, l’e´preuveEn, si elle a lieu, ne depend de celles qui l’on pre´ce´de´es que parlenum´erodujoueuroppos´e`aJni.quiaremport´eleduelpr´ec´e(deenctu)l ultat estnt´eg`o)eus( ) (b)Laprobabilit´epourJnde remporter ce duel (le re´sale a`pn,pk k2 est une suite d’e´le´ments de]0,1[e´etantvstoppos´qriuuleil,jeuouecevaenuqniarueu probabilite´ 1pn. On admettra par ailleurs que, pour toute suite(An)ntoitdsetlon´earoinunsjditsenemenv´´ed nN estdeprobabilit´e1,ilexisteunevariableal´eatoireX`asnasdurlevaNve´rifiant : nN,P[X=n] =P(An)
2 Pre´liminaires. Onseproposeicided´emontrerdiversre´sultatsquipourrontˆetreutilis´esdanslasuiteduprobl`eme. 1
2.1R´esultat1. (xn)et(yn)rmtepoesuixtdseu`natessoire:tnaitis´vsf nNnN xnyn n+1. Justifier, pour toutεstrictement positif, l’existence d’un entier naturel non nuln0tel que pour toutnse´puueir´uoraleg`an0on ait : n nn01n ∑ ∑∑ ∑ xkyk(xkyk) +εxk  k=0k=0k=0k=n0 2.Ende´duireque,silas´eriedetermeg´en´eralxnest divergente, on a : n n ∑ ∑ xkyk n+k=0k=0 2.2 Re´sultat2. 1.(u)est un n nNre´nlamrete´geers´deieeqlllaueisitsfetetmrseopesuite`aunsoit convergente. 1.a.Montrerquonde´nitunesuiteder´eelsparlarelation: +nN,vn=uk k=n+1 Quelle est la nature de cette suite ? 1.b. Justifier pour tout entier naturelnnon nul : n n1 ∑ ∑ kuk=vknvn k=1k=0 1.c. Montrerque si la se´rie de terme ge´ne´ralvnente,alotconvergeiedetmrsral´srere´ne´gelase nunest convergente. 1.d.Montrerquesilas´eriedetermeg´ene´ralnundetereem´gnee´arleoctsrevnntgeloealarsitsu nvnconverge vers 0. Indication :tnemrpa,lse`ovajuiriste,´eilutOpnourra´eventuellealersireno:alit nN,vn1= (vk1vk) kn pour majorer l’expressionnvn1, lorsquenest un entier naturel non nul. 1.e.End´eduirequelesse´riesdetermesg´en´erauxrespectifsnunetvnn´taulimtsonsnoctneme vergentesetdemˆemesomme. 2. Danscette question,Xevariableal´eato´dsegiennu´teepedacsplibibarone´derienurusei (Ω,A,P)prenant ses valeurs dansNecisesp´eranadmetuneuqeellee´rpde`ceceduieq´e.Dirdu etseulementsilas´eriedetermege´ne´ralP[X>n]est convergente et qu’on a alors l’e´galite´ : +E[X] =P[X>n] n=0
2
2.3 Re´sultat3. n (an)tareti`eenusseutelleifstositmesp`itneeire´saleuqeeranxadmette un rayon de nN convergenceRstrictement positif. On note : n x]R,R[,f(x) =anx n0 1. Montrer quef(x)admet une limite finie lorsquextend versRsur[0,R[si et seulement sifest majore´e sur[0,R[. Onsupposedanslasuitedecettepartiequelunedecesconditions´equivalentesestr´ealise´eet on noteLla limite. 2.a. Montrer que, pour toutnentier naturel : n k akRL k=0 n 2.b.End´eduirequelase´riedetermege´ne´ralanRest convergente. 2.c.Montrerquelas´erieentie`reestnormalementconvergentesur[R,R]uq:e.nE´ddeiuer n anR=limf(x) xR n0
3Premi`eremode´lisation:lecasparticulierN=2. Danscettesectiononobservelasuitedesnume´rosdesdiff´erentsvainqueurssuccessifs.Lunivers des possibles est alors l’ensemble des listes (e´ventuellement infinies) repre´sentant les nume´ros des joueurs vainqueurs aux diffe´rents combats.Ainsi :(0,2,3,3)mocrpe´resenteraunjeude4 batsremport´essuccessivementparJ0,J2,J3etJ3qui est alors de´clare´ gagnant du tournoi, ce qui met fin a` celuici. On noteDn, pournmuiosne´ane´eev´,la2l`ga:tnemeissu`alˆeterrasuejel dunie`me duel. 1.a. ExpliciterD2a` l’aide de la mode´lisation propose´e. 1.b.Plusg´ene´ralement,expliciterDn+1lorsquenl`ga.a2estutnenareiiomue´sn 2. Dans cette question on suppose que, pour toutn2,pnal`ga´estep. S ifier queDest 2.a. CalculerP(Dn)pourna`.2´Vreor´ugelaup´erieusn2nun e´ve´nement de probabilite´1.Interpr´etercer´esultat. 2.b.Onpeutalorsconsid´ererunevariableale´atoireTe´gale au nombre de duels qui ont effective menteulieulorsquelejeusarreˆte.Calculer,apr`esavoirjustie´leursexistences,sonesp´erance et sa variance. 3.Onrevientaucasg´ene´ralou`,pourtoutiomni´sgeal`a2,uapiestunr´edtneee´leme´l]0,1[. On pose pour toutnlaa`´sgeomni2:ua n βn=pi i=2 n Exprimer, pournniomua2,`aalegs´P(D)en fonction de). E k=2kla suite(βk k2´endirduueeq S n2Dnse´nute´veemenstues1eitniselemprobntdeit´eabilβntend vers 0 lorsquentend vers l’infini. Lorsquecetteconditionestv´eri´eeonde´niraTcquestionomme`alap,aresopnote.b.2rou n2 : un=βnβn+1 3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.